Questão de Engenharia Mecânica · FGV TCE-PA 2024 (nº 62)

Para resolver este problema de escoamento em tubulações, usamos duas ferramentas fundamentais da mecânica dos fluidos: a Equação da Continuidade, que garante a conservação da massa do fluido, e a Equação de Bernoulli, que expressa a conservação de energia para um fluido ideal.

• (A) Incorreta: O valor é muito baixo, não corresponde aos cálculos.

• (B) Incorreta: O valor é muito baixo, não corresponde aos cálculos.

• (C) Incorreta: O valor é muito baixo, não corresponde aos cálculos.

• (D) Incorreta: O valor é muito baixo, não corresponde aos cálculos.

• (E) Correta: Vamos aplicar a Equação da Continuidade e a Equação de Bernoulli.

  1. Equação da Continuidade: Para um escoamento incompressível (água), a vazão volumétrica é constante:
     $Q_A = Q_B \implies A_A V_A = A_B V_B$
     Onde $A$ é a área da seção transversal e $V$ é a velocidade. Como $A = \frac{\pi D^2}{4}$:
     $\frac{\pi D_A^2}{4} V_A = \frac{\pi D_B^2}{4} V_B \implies D_A^2 V_A = D_B^2 V_B$
     Sabemos que $D_A = 3 D_B$. Substituindo:
     (3 D_B)^2 V_A = D_B^2 V_B \implies 9 D_B^2 V_A = D_B^2 V_B \implies 9 V_A = V_B \implies V_A = \frac{V_B}{9}\

  2. Equação de Bernoulli: Para um escoamento ideal (sem perdas por atrito) e horizontal ($z_A = z_B$), a equação entre os pontos A e B é:
     $\frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + z_B$
     Simplificando e multiplicando por $\rho g$:
     $P_A + \frac{1}{2} \rho V_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho V_B^2$
     Rearranjando para a diferença de pressão:
     P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (V_B^2 - V_A^2)\

  3. Análise da diferença de pressão (Armadilha da Banca): O problema afirma que "a diferença de pressão entre o ponto B e o ponto A é de 0,1kgf/cm$^2$", ou seja, $P_B - P_A = 0,1 \text{ kgf/cm}^2$. No entanto, como o diâmetro diminui de A para B ($D_A > D_B$), a velocidade do fluido deve aumentar ($V_B > V_A$). Pela Equação de Bernoulli, para um escoamento horizontal, um aumento de velocidade implica uma diminuição de pressão. Portanto, $P_B$ deveria ser menor que $P_A$, o que faria $P_B - P_A$ ser negativo. Para que o problema tenha uma solução fisicamente consistente e que leve a uma das alternativas, devemos interpretar a "diferença de pressão" como a magnitude da queda de pressão de A para B, ou seja, $P_A - P_B = 0,1 \text{ kgf/cm}^2$.

  4. Conversão de unidades:
     A densidade da água é $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$.
     A diferença de pressão é $P_A - P_B = 0,1 \text{ kgf/cm}^2$.
     Sabemos que $1 \text{ kgf} \approx 9,81 \text{ N}$ e $1 \text{ cm}^2 = (10^{-2} \text{ m})^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$.
     Então, $P_A - P_B = 0,1 \times \frac{9,81 \text{ N}}{10^{-4} \text{ m}^2} = 0,1 \times 9,81 \times 10^4 \text{ Pa} = 9810 \text{ Pa}$.

  5. Cálculo da velocidade $V_B$:
     Substituindo os valores na equação de Bernoulli modificada:
     $9810 = \frac{1}{2} (1000) (V_B^2 - V_A^2)$
     $9810 = 500 (V_B^2 - (\frac{V_B}{9})^2)$
     $9810 = 500 (V_B^2 - \frac{V_B^2}{81})$
     $9810 = 500 V_B^2 (1 - \frac{1}{81})$
     $9810 = 500 V_B^2 (\frac{80}{81})$
     $V_B^2 = \frac{9810 \times 81}{500 \times 80}$
     $V_B^2 = \frac{794610}{40000}$
     $V_B^2 = 19,86525$
     $V_B = \sqrt{19,86525} \approx 4,456 \text{ m/s}$

  Arredondando para uma casa decimal, obtemos $V_B \approx 4,5 \text{ m/s}$.