Questão de Engenharia Mecânica · FGV TCE-PA 2024 (nº 61)

A análise dimensional é uma ferramenta que garante que todas as equações físicas estejam balanceadas em termos de suas unidades de medida, ou seja, as dimensões de ambos os lados da equação devem ser as mesmas. Para resolver este problema, primeiro identificamos as dimensões de cada termo e, em seguida, igualamos os expoentes das dimensões fundamentais (Massa [M], Comprimento [L], Tempo [T]) em ambos os lados da equação.

As dimensões dos termos são:

• Resistência ($R$): Força por Área = $\frac{[M][L][T]^{-2}}{[L]^2} = [M][L]^{-1}[T]^{-2}$
• Massa específica ($\rho$): Massa por Volume = $\frac{[M]}{[L]^3} = [M][L]^{-3}$
• Velocidade ($v$): Comprimento por Tempo = $\frac{[L]}{[T]} = [L][T]^{-1}$
• Comprimento ($e$): $[L]$
• Constante $C$: Adimensional (não possui dimensão)

A equação dada é $R = C \cdot \rho^{a_1} \cdot v^{a_2} \cdot e^{a_3}$.
Substituindo as dimensões:
$[M][L]^{-1}[T]^{-2} = ([M][L]^{-3})^{a_1} \cdot ([L][T]^{-1})^{a_2} \cdot ([L])^{a_3}$
$[M]^1[L]^{-1}[T]^{-2} = [M]^{a_1} [L]^{-3a_1} [L]^{a_2} [T]^{-a_2} [L]^{a_3}$
Agrupando os expoentes das dimensões fundamentais:
$[M]^1[L]^{-1}[T]^{-2} = [M]^{a_1} [L]^{(-3a_1 + a_2 + a_3)} [T]^{-a_2}$

Agora, igualamos os expoentes para cada dimensão:

1. Para [M] (Massa): 1 = a_1 \implies a_1 = 1\
2. Para [T] (Tempo): -2 = -a_2 \implies a_2 = 2\
3. Para [L] (Comprimento): $-1 = -3a_1 + a_2 + a_3$
   Substituindo $a_1=1$ e $a_2=2$:
   $-1 = -3(1) + 2 + a_3$
   $-1 = -3 + 2 + a_3$
   $-1 = -1 + a_3$
   $a_3 = 0$

Portanto, os expoentes são $a_1=1$, $a_2=2$ e $a_3=0$.

(A) Incorreta: O expoente $a_1$ para a massa específica ($\rho$) está incorreto (0 em vez de 1), o que faria com que a dimensão de massa não se balanceasse na equação.
(B) Incorreta: O expoente $a_1$ para a massa específica ($\rho$) está incorreto (0 em vez de 1), o que faria com que a dimensão de massa não se balanceasse na equação.
(C) Incorreta: Embora o expoente $a_1$ esteja correto (1), o expoente $a_2$ para a velocidade ($v$) está incorreto (1 em vez de 2). Isso faria com que a dimensão de tempo não se balanceasse, e consequentemente a dimensão de comprimento também ficaria errada. (Armadilha da banca: esta alternativa é tentadora por ter o primeiro expoente correto, mas os demais estão errados.)
(D) Correta: Os expoentes $a_1=1$, $a_2=2$ e $a_3=0$ são os únicos que garantem a homogeneidade dimensional da equação, ou seja, que as unidades de medida de ambos os lados da equação são equivalentes (força por área).
(E) Incorreta: Os expoentes $a_1$ (2 em vez de 1) e $a_2$ (1 em vez de 2) estão incorretos, o que desbalancearia as dimensões de massa e tempo na equação.