Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SSP-AM 2021 (nº 13)

Para contar arranjos onde elementos não podem ficar juntos, uma técnica comum é calcular o total de arranjos possíveis e subtrair aqueles em que os elementos estão juntos.

• (A) Incorreta: Esta seria a quantidade de maneiras de posicionar e arranjar os algarismos pares nos espaços entre os ímpares, mas sem considerar as permutações dos algarismos ímpares. Se alguém usasse o método de "espaços" e esquecesse de multiplicar pelas permutações dos algarismos ímpares ($3!$), chegaria a$C(4,2) \times 2! = 6 \times 2 = 12$.
• (B) Incorreta: Este valor corresponde a $4! (fatorial de 4). Representa o número de permutações de 4 itens, o que poderia ser o caso se alguém tratasse os algarismos pares (2 e 4) como um bloco, mas esquecesse de multiplicar pelas permutações internas desse bloco (\2!$) ao calcular os casos em que eles estão juntos.
• (C) Incorreta: Não há um cálculo direto que leve a 36 neste contexto.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma etapa intermediária ou erro comum neste tipo de problema.
• (E) Correta: Primeiro, calculamos o total de números de cinco algarismos distintos que podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, que é $5! = 120. Em seguida, calculamos os casos em que os algarismos pares (2 e 4) *ficam juntos*. Para isso, tratamos (2,4) como um único bloco. Assim, permutamos 4 "itens": o bloco (2,4), o 1, o 3 e o 5. Isso dá \4! permutações. Dentro do bloco (2,4), os algarismos podem ser 24 ou 42, ou seja, \2!$permutações. Então, o número de casos em que 2 e 4 ficam juntos é$4! \times 2! = 24 \times 2 = 48. A quantidade de números em que os algarismos pares *não* ficam juntos é o total menos os casos em que eles ficam juntos: \120 - 48 = 72undefined3! = 6 maneiras. Isso cria 4 espaços onde os algarismos pares podem ser colocados: _ I _ I _ I _. Para que os pares não fiquem juntos, eles devem ocupar 2 desses 4 espaços. Escolhemos 2 espaços de 4 (C(4,2) = 6) e arranjamos os 2 algarismos pares nesses espaços (\2! = 2$). Assim,$3! \times C(4,2) \times 2! = 6 \times 6 \times 2 = 72$.)