Questão de Raciocínio Lógico-Quantitativo · FGV SMF-RJ APO 2023 - Manhã (P1) (nº 64)

Uma equação diofantina linear é uma equação onde buscamos soluções inteiras para as variáveis (neste caso, o número de notas). O objetivo é maximizar o total de notas usadas para um valor fixo.

(A) Incorreta: Este valor (238) corresponde ao número de notas de 5 irreais ($x$) na solução que maximiza o total de notas. A armadilha aqui é confundir o número de notas de uma denominação com o total de notas usadas.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma solução válida para o problema.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma solução válida para o problema.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma solução válida para o problema.
(E) Correta: O problema pode ser modelado pela equação diofantina $5x + 6y = 1214$, onde$x$é o número de notas de 5 irreais e$y$é o número de notas de 6 irreais. Queremos maximizar o total de notas$N = x+y$. Podemos expressar$x$e$y$em termos de$N$:$x = 6N - 1214$e$y = 1214 - 5N$. Aplicando as restrições de que o número de notas deve ser não-negativo ($x \ge 0$e$y \ge 0$), obtemos:

1. $6N - 1214 \ge 0 \implies 6N \ge 1214 \implies N \ge 202,33... \implies N \ge 203$ (já que $N$ deve ser inteiro).
2. $1214 - 5N \ge 0 \implies 5N \le 1214 \implies N \le 242,8 \implies N \le 242$ (já que $N$ deve ser inteiro).
   Combinando as restrições, temos $203 \le N \le 242$. Para maximizar o número total de notas, escolhemos o maior valor possível para $N$, que é $N=242$.
   Com $N=242$:

• $y = 1214 - 5(242) = 1214 - 1210 = 4$ notas de 6 irreais.
• $x = 6(242) - 1214 = 1452 - 1214 = 238$ notas de 5 irreais.
  Verificamos que $x=238$ e $y=4$ estão dentro do limite de 500 notas de cada tipo. O total de notas usadas é $238 + 4 = 242$.