Questão de Raciocínio Lógico-Quantitativo · FGV SMF-RJ APO 2023 - Manhã (P1) (nº 61)

Em equações polinomiais, as raízes são os valores de $x$ que tornam a equação verdadeira. A soma das raízes reais pede apenas os valores de $x$ que são números reais.

• (A) Correta: Para resolver $x^6-4x^4+x^2-4=0$, podemos fazer a substituição $y=x^2$. A equação se torna $y^3-4y^2+y-4=0$. Agrupando os termos, temos $y^2(y-4)+1(y-4)=0$, que simplifica para $(y^2+1)(y-4)=0$. As soluções para $y$ são $y-4=0 \Rightarrow y=4$ ou $y^2+1=0 \Rightarrow y^2=-1 \Rightarrow y=\pm i$. Agora, voltamos à substituição $x^2=y$. Para $y=4$, temos $x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$. Estas são as raízes reais. Para $y=\pm i$, temos $x^2=\pm i$, que resultam em raízes complexas (não reais). Portanto, as raízes reais são $2$e$-2undefined2 + (-2) = 0$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa seria incorreta porque a soma das raízes reais é 0, não 1.
• (C) Incorreta: Esta alternativa seria incorreta porque a soma das raízes reais é 0, não 2.
• (D) Incorreta: Esta alternativa seria incorreta porque a soma das raízes reais é 0, não 3.
• (E) Incorreta: Esta alternativa seria incorreta porque a soma das raízes reais é 0, não 4. A armadilha da banca aqui é que a soma de todas as raízes (reais e complexas) de um polinômio $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ é dada por $-a_{n-1}/a_n$. Na equação $x^6-4x^4+x^2-4=0$, o coeficiente de $x^5$ é $0$. Assim, a soma de *todas* as raízes (reais e complexas) seria$-0/1=0$. Embora o resultado final seja o mesmo, é uma coincidência neste caso. O correto é identificar e somar apenas as raízes reais, como feito na explicação da alternativa A.