Questão de Raciocínio Lógico-Quantitativo · FGV SMF-RJ APO 2023 - Manhã (P1) (nº 60)

Um hexágono regular é um polígono com seis lados de mesmo comprimento e seis ângulos internos iguais. A circunferência circunscrita (C) é aquela que passa por todos os vértices do hexágono, e a circunferência inscrita (c) é aquela que tangencia todos os lados do hexágono.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o raio da circunferência circunscrita fosse o dobro do raio da circunferência inscrita ($R=2r$), o que não é verdade para um hexágono regular.
• (B) Correta: Para um hexágono regular de lado $L$, o raio da circunferência circunscrita ($R$) é igual ao lado do hexágono, ou seja, $R = L$. O raio da circunferência inscrita ($r$) é a apótema do hexágono, que é $r = \frac{L\sqrt{3}}{2}$. A área de uma circunferência é dada por $A = \pi \cdot \text{raio}^2$.
  Assim, a área de C é $A_C = \pi R^2 = \pi L^2$.
  E a área de c é $A_c = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{L^2 \cdot 3}{4} = \frac{3\pi L^2}{4}$.
  A razão entre a área de C e a área de c é $\frac{A_C}{A_c} = \frac{\pi L^2}{\frac{3\pi L^2}{4}} = \frac{\pi L^2}{1} \cdot \frac{4}{3\pi L^2} = \frac{4}{3}$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa poderia ser um distrator se houvesse uma confusão com a relação entre os raios ou se o cálculo da apótema estivesse incorreto, por exemplo, se o quadrado da razão dos raios fosse $\sqrt{3}^2=3$, mas a razão correta é $2/\sqrt{3}$.
• (D) Incorreta: Não há uma relação direta que leve a este valor com as propriedades de um hexágono regular e suas circunferências.
• (E) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se a razão fosse entre os raios ($R/r$) e não entre as áreas, ou se houvesse um erro no cálculo da razão dos raios, pois $R/r = L / (L\sqrt{3}/2) = 2/\sqrt{3} \approx 1.15$, que não é 2.