Questão de Raciocínio Lógico-Quantitativo · FGV SMF-RJ APO 2023 - Manhã (P1) (nº 59)

Para resolver problemas de razão e proporção com múltiplos produtos e recursos limitados, usamos um sistema de equações lineares. Cada equação representa a conservação de um recurso (neste caso, cada cor de tinta), e as variáveis são as quantidades de cada produto a serem produzidas.

Vamos definir:

• $x$: total de galões do Modelo 1 a serem produzidos.
• $y$: total de galões do Modelo 2 a serem produzidos.

Modelo 1: Proporção de 7 colheres de tinta preta para 3 colheres de tinta branca. Isso significa que, para cada galão do Modelo 1, $7/10 é tinta preta e \3/10$ é tinta branca.

• Tinta preta no Modelo 1: $0.7x$
• Tinta branca no Modelo 1: $0.3x$

Modelo 2: Proporção de 2 colheres de tinta preta para 3 colheres de tinta branca. Isso significa que, para cada galão do Modelo 2, $2/5 (ou \0.4) é tinta preta e \3/5 (ou \0.6$) é tinta branca.

• Tinta preta no Modelo 2: $0.4y$
• Tinta branca no Modelo 2: $0.6y$

Recursos totais disponíveis:

• Tinta preta total: 1.100 galões
• Tinta branca total: 900 galões

Agora, montamos o sistema de equações:

1. Para a tinta preta: $0.7x + 0.4y = 1100$
2. Para a tinta branca: $0.3x + 0.6y = 900$

Para facilitar, podemos multiplicar ambas as equações por 10 para remover os decimais:

1. $7x + 4y = 11000$
2. $3x + 6y = 9000$

Podemos simplificar a segunda equação dividindo-a por 3:
2. $x + 2y = 3000$

Agora, temos um sistema mais simples:

1. $7x + 4y = 11000$
2. $x + 2y = 3000$

Da equação (2), podemos isolar $x$:
$x = 3000 - 2y$

Substituímos esta expressão para $x$ na equação (1):
$7(3000 - 2y) + 4y = 11000 \21000 - 14y + 4y = 11000 \21000 - 10y = 11000 \10y = 21000 - 11000 \10y = 10000$$y = 1000$

Agora que temos $y$, substituímos de volta na expressão para $x$:
$x = 3000 - 2(1000)$
$x = 3000 - 2000$
$x = 1000$

Portanto, serão produzidos 1.000 galões do Modelo 1 e 1.000 galões do Modelo 2. A questão pede o total de galões do Modelo 1.

(A) Incorreta: Esta alternativa pode ser um distrator para quem tenta distribuir a tinta preta disponível de forma errada. Por exemplo, se um aluno somasse as "partes de tinta preta" dos dois modelos (7 + 2 = 9) e calculasse a quantidade de tinta preta para o Modelo 1 como $7/9$do total de 1.100 galões de tinta preta ($7/9 \times 1100 \approx 855.56$), e então arredondasse para 850, ou equivocadamente considerasse esse valor como o volume total do Modelo 1.
(B) Incorreta: O valor de 960 não é obtido por nenhum cálculo correto ou erro comum no sistema de equações.
(C) Correta: O cálculo do sistema de equações lineares, que representa a utilização total de cada tipo de tinta, resulta em 1.000 galões para o Modelo 1.
(D) Incorreta: O valor de 1.180 não é obtido por nenhum cálculo correto ou erro comum no sistema de equações.
(E) Incorreta: O valor de 1.200 não é obtido por nenhum cálculo correto ou erro comum no sistema de equações.