Questão de Raciocínio Lógico-Quantitativo · FGV SMF-RJ APO 2023 - Manhã (P1) (nº 57)

Ao elevar ao quadrado um número composto apenas por algarismos 1 (chamado de repunit), o padrão dos algarismos no resultado é afetado por "vai-uns" (carries) quando a quantidade de algarismos 1 no número original é maior que 9. Para resolver, analisamos o padrão de $N^2$ para diferentes quantidades de algarismos 1, observando como os "vai-uns" alteram os dígitos resultantes.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria correta apenas se N fosse o número 1 ($1^2=1$). Para N com 30 algarismos 1, o resultado é um número muito maior e com mais algarismos 1.
• (B) Incorreta: Esta é a armadilha mais tentadora. Para números N com 2 a 10 algarismos 1, o resultado $N^2$ tem 2 algarismos 1 (ex: $11^2=121$, $111^2=12321$, $111111111^2=12345678987654321$, $1111111111^2=1234567900987654321$). Um aluno pode supor que este padrão se mantém para 30 algarismos, mas os "vai-uns" adicionais mudam o comportamento.
• (C) Incorreta: O número de algarismos 1 no resultado é 3 para N com 11 algarismos 1 ($11111111111^2 = 123456790120987654321$).
• (D) Incorreta: Não corresponde ao padrão observado para N com 30 algarismos 1.
• (E) Correta: Para N com 30 algarismos 1, $N^2$ terá $2 \times 30 - 1 = 59$ algarismos. A contagem dos algarismos 1 é feita analisando os "vai-uns" (carries) durante a soma das colunas na multiplicação.
  • Os algarismos de $N^2$ são gerados pela soma das colunas da multiplicação. As somas iniciais das colunas (sem considerar os "vai-uns") seriam $1, 2, ..., 9, 10, 11, ..., 30, 29, ..., 2, 1$.
  • Ao aplicar os "vai-uns" da direita para a esquerda, os algarismos 1 aparecem nas seguintes posições (contando da direita para a esquerda):
    1. 1ª posição: O primeiro algarismo é sempre 1.
    2. 32ª posição: A soma da coluna 32 (28) mais o "vai-um" da coluna 31 (3) resulta em $28+3=31$, cujo algarismo é 1.
    3. 41ª posição: A soma da coluna 41 (19) mais o "vai-um" da coluna 40 (2) resulta em $19+2=21$, cujo algarismo é 1.
    4. 50ª posição: A soma da coluna 50 (10) mais o "vai-um" da coluna 49 (1) resulta em $10+1=11$, cujo algarismo é 1.
    5. 59ª posição: O último algarismo (o mais à esquerda) é sempre 1.
  • Portanto, o algarismo 1 aparece 5 vezes no número $N^2$.