Questão de Noções de Economia e de Matemática Financeira · FGV SEFAZ-RJ 2011 - Prova 1 (nº 41)

Juros Simples é o cálculo de juros sempre sobre o valor inicial (principal), crescendo de forma linear. Juros Compostos é o cálculo de juros sobre o valor atualizado (principal mais juros acumulados), crescendo de forma exponencial.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria incorreta se I fosse falsa, mas I é verdadeira.
• (B) Incorreta: Esta alternativa seria incorreta se II ou III fossem falsas, mas ambas são verdadeiras.
• (C) Incorreta: Esta alternativa seria incorreta se I ou II fossem falsas, mas ambas são verdadeiras.
• (D) Incorreta: Esta alternativa seria incorreta se II ou III fossem falsas, mas ambas são verdadeiras.
• (E) Correta: Todas as afirmativas estão corretas.

Análise das Afirmativas:

I. Sendo n expresso em meses, para n igual a 1, tudo o mais permanecendo constante (juros e valor presente), o valor futuro sob juros simples é igual ao valor futuro sob juros compostos.

• Fundamento: Para o primeiro período de capitalização ($n=1$), a base de cálculo dos juros é sempre o valor presente (principal), tanto para juros simples quanto para juros compostos.
• Demonstração:
  • Juros Simples: $FV_S = PV \cdot (1 + i \cdot n)$
  • Juros Compostos: $FV_C = PV \cdot (1 + i)^n$
  • Para $n=1$:
    • $FV_S = PV \cdot (1 + i \cdot 1) = PV \cdot (1 + i)$
    • $FV_C = PV \cdot (1 + i)^1 = PV \cdot (1 + i)$
  • Portanto, $FV_S = FV_C$ quando $n=1$.
• Conclusão: A afirmativa I está correta.

II. Sendo n expresso em dias, o montante em 10 dias sob a taxa de juros simples 1%/30 é maior que sob a taxa de juros compostos 0,0332%.

• Fundamento: A taxa de juros simples diária é obtida dividindo a taxa mensal pelo número de dias no mês. A taxa de juros compostos equivalente diária é aquela que, capitalizada diariamente por 30 dias, resulta no mesmo montante que a taxa simples mensal. Para períodos menores que o período de equivalência (neste caso, 1 mês), a taxa simples diária (derivada por divisão) pode gerar um montante maior do que a taxa composta equivalente diária.
• Demonstração:
  • Taxa de juros simples mensal: $i_{sm} = 1\% = 0.01$
  • Taxa de juros simples diária: $i_{sd} = 1\% / 30 = 0.0003333...$
  • Taxa de juros compostos equivalente diária: $i_{cd} = 0.0332\% = 0.000332$
  • Montante em 10 dias com juros simples: $M_S = PV \cdot (1 + i_{sd} \cdot 10) = PV \cdot (1 + (0.01/30) \cdot 10) = PV \cdot (1 + 0.01/3) = PV \cdot (1 + 0.003333...) = PV \cdot 1.003333...$
  • Montante em 10 dias com juros compostos: $M_C = PV \cdot (1 + i_{cd})^{10} = PV \cdot (1 + 0.000332)^{10} \approx PV \cdot 1.0033255...$
  • Comparando os fatores de multiplicação: $1.003333... > 1.0033255...$
• Armadilha da banca: A "pegadinha" aqui é que, embora a taxa de juros compostos 0,0332% seja equivalente à taxa de juros simples de 1% ao mês para o período de um mês, para períodos menores que um mês, a taxa simples diária (obtida por divisão) pode gerar um montante maior. A equivalência se dá no final do período de referência (30 dias).
• Conclusão: A afirmativa II está correta.

III. À medida que n aumenta, a diferença entre o montante sob juros compostos e juros simples, tudo o mais permanecendo constante, aumenta.

• Fundamento: Juros simples crescem linearmente, enquanto juros compostos crescem exponencialmente. Uma função exponencial sempre ultrapassará e se distanciará de uma função linear (com taxa positiva) a longo prazo.
• Demonstração:
  • $FV_S = PV \cdot (1 + i \cdot n)$ (crescimento linear)
  • $FV_C = PV \cdot (1 + i)^n$ (crescimento exponencial)
  • Para $n=1$, $FV_S = FV_C$.
  • Para $n>1$, $FV_C > FV_S$ (assumindo $i>0$).
  • A diferença $FV_C - FV_S = PV \cdot ((1+i)^n - (1+i \cdot n))$ aumenta continuamente à medida que $n$ cresce, pois o termo exponencial $(1+i)^n$ cresce muito mais rápido que o termo linear $(1+i \cdot n)$.
• Conclusão: A afirmativa III está correta.