Questão de Estatística · FGV SEFAZ-MG 2022 - Tarde (nº 28)

Para estimar uma proporção populacional (a porcentagem de algo em uma população) com uma amostra, precisamos de um certo tamanho de amostra para garantir que nossa estimativa seja precisa (com uma margem de erro) e confiável (com um nível de confiança).

• Conceito-chave: O cálculo do tamanho da amostra para proporções busca determinar o número mínimo de indivíduos a serem pesquisados para que a proporção observada na amostra esteja dentro de uma certa margem de erro da proporção real da população, com um nível de confiança especificado.

• Fórmula: A fórmula para o tamanho mínimo da amostra ($n$) para estimar uma proporção é $n = \frac{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}$, onde:

  • $Z$ é o valor Z (escore Z) correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $p$ é a proporção populacional estimada (se desconhecida, usa-se 0,5 para maximizar o tamanho da amostra e garantir a condição).
  • $E$ é a margem de erro (a diferença máxima permitida entre a proporção amostral e a populacional).

• Dados do problema:

  • Nível de confiança = 99%. O problema nos dá $P[Z < 2,58] = 0,995$. Para um intervalo de confiança de 99% (bicaudal), $\alpha = 1 - 0,99 = 0,01$, então $\alpha/2 = 0,005$. O valor Z tal que a área à direita é 0,005 (ou à esquerda é 0,995) é $Z = 2,58$.
  • Margem de erro ($E$) = 1% = 0,01.
  • Proporção populacional ($p$): Não é dada. Para garantir o menor tamanho de amostra que satisfaça a condição para qualquer proporção, devemos usar $p = 0,5$ (pois $p(1-p)$ é máximo quando $p=0,5$).

• Cálculo:
  $n = \frac{(2,58)^2 \cdot 0,5 \cdot (1-0,5)}{(0,01)^2}$
  $n = \frac{(2,58)^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{(0,01)^2}$
  $n = \frac{6,6564 \cdot 0,25}{0,0001}$
  $n = \frac{1,6641}{0,0001}$
  $n = 16641$

  Arredondando para cima (pois não se pode ter uma fração de uma amostra), o menor tamanho da amostra é 16.641. A alternativa mais próxima é 16.642.

(A) Incorreta: Este valor é muito pequeno para a margem de erro e nível de confiança exigidos. Um erro comum seria usar um Z-score incorreto ou uma margem de erro muito maior (e.g., 10%).
(B) Incorreta: Assim como a alternativa A, este valor é insuficiente. Não corresponde aos parâmetros dados na questão.
(C) Incorreta: Este valor também é muito baixo. Pode ser resultado de um erro de cálculo, como usar um Z-score para um nível de confiança menor.
(D) Correta: O cálculo usando a fórmula padrão para o tamanho da amostra de proporção, com $Z=2,58$ (para 99% de confiança), $p=0,5$ (para maximizar o tamanho e garantir a condição) e margem de erro $E=0,01$ (1%), resulta em $n \approx 16641$. A alternativa 16.642 é o valor mais próximo e, na prática, arredondamos para cima para garantir a confiança e a margem de erro.
(E) Incorreta: Este valor é um pouco maior que o calculado. Uma armadilha comum seria usar um Z-score ligeiramente diferente (e.g., arredondado de forma diferente ou de uma tabela com mais casas decimais que resultasse em um valor um pouco maior) ou cometer um pequeno erro de cálculo que inflacionasse o resultado.