Questão de Estatística · FGV SEFAZ-MG 2022 - Tarde (nº 27)

No teste de hipóteses, usamos dados de uma amostra para decidir se há evidências suficientes para rejeitar uma afirmação sobre a população (a hipótese nula, $H_0$) em favor de uma afirmação alternativa (a hipótese alternativa, $H_1$). Quando a variância populacional é conhecida e a amostra é grande ou a população é normal, usamos o teste Z para a média. A regra de decisão define um valor crítico (ou região de rejeição) para o estatístico de teste ou para a média amostral ($\bar{x}$); se o valor observado cair nessa região, rejeitamos $H_0$ no nível de significância ($\alpha$) estabelecido.

Resolução:

1. Identificar as hipóteses e parâmetros:

   • $H_0: \mu \leq 100$ (média populacional é menor ou igual a 100)
   • $H_1: \mu > 100$ (média populacional é maior que 100) - Este é um teste unilateral à direita.
   • Variância populacional $\sigma^2 = 100 \Rightarrow$ Desvio padrão populacional $\sigma = \sqrt{100} = 10$.
   • Tamanho da amostra $n = 100$.
   • Nível de significância $\alpha = 1\% = 0.01$.
   • Valor crítico $z_{\alpha}$: Dado $P[Z < 2.33] = 0.99$. Para um teste unilateral à direita com $\alpha = 0.01$, precisamos do $z$-valor tal que $P[Z > z_{\alpha}] = 0.01$, o que é equivalente a $P[Z < z_{\alpha}] = 1 - 0.01 = 0.99$. Portanto, $z_{0.01} = 2.33$.

2. Calcular a média amostral ($\bar{x}$) a partir dos dados:
   Os pontos médios ($x_i$) das classes e suas frequências ($f_i$) são:

   • 90-94: $x_1 = 92$, $f_1 = 10$
   • 94-98: $x_2 = 96$, $f_2 = 20$
   • 98-102: $x_3 = 100$, $f_3 = 30$
   • 102-106: $x_4 = 104$, $f_4 = 25$
   • 106-110: $x_5 = 108$, $f_5 = 15$
     Soma das frequências $n = 10 + 20 + 30 + 25 + 15 = 100$.
     $\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n} = \frac{(92 \cdot 10) + (96 \cdot 20) + (100 \cdot 30) + (104 \cdot 25) + (108 \cdot 15)}{100}$
     $\bar{x} = \frac{920 + 1920 + 3000 + 2600 + 1620}{100} = \frac{10060}{100} = 100.6$.

3. Determinar a regra de decisão (correta, baseada nos dados do problema):
   A regra de decisão para um teste unilateral à direita é rejeitar $H_0$ se $\bar{x} > \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
   O erro padrão da média é $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{100}} = \frac{10}{10} = 1$.
   Valor crítico para $\bar{x}$: $CV = 100 + 2.33 \cdot 1 = 102.33$.
   Portanto, a regra de decisão correta seria: rejeitar $H_0$ se $\bar{x} > 102.33$.
   Com $\bar{x} = 100.6$, como $100.6 \ngtr 102.33$, a decisão correta seria não rejeitar $H_0$.

4. Analisar as alternativas e o gabarito oficial:

• (A) Incorreta: A regra de decisão "rejeitar H₀ se 𝑥̅ > 104,62" implica um valor crítico para $\bar{x}$ de 104,62. Isso corresponderia a um $z$-valor de $4.62, o que é muito maior que \2.33$e, portanto, a um nível de significância muito menor que 1$\bar{x} = 100.6 \ngtr 104.62$.
• (B) Incorreta: A regra de decisão "rejeitar H₀ se 𝑥̅ > 106,54" implica um valor crítico para $\bar{x}$ de 106,54, o que também é inconsistente com o $z$-valor e $\alpha$ fornecidos. A decisão "não rejeitar H₀" é consistente com $\bar{x} = 100.6 \ngtr 106.54$.
• (C) Correta: A regra de decisão é rejeitar $H_0$ se $\bar{x} > 100.466$. Com o $\bar{x}$ calculado de $100.6, como \100.6 > 100.466$, a decisão é rejeitar$H_0undefined100.466$implica um$z-valor de \0.466$(pois$100 + 0.466 \cdot 1 = 100.466$), que não corresponde ao nível de significância de 1$z_{0.01}=2.33$) fornecido na questão. Há uma inconsistência entre o$z$-valor dado e o valor crítico apresentado nesta alternativa. No entanto, seguindo o gabarito oficial, esta é a alternativa a ser marcada. A "pegadinha" da banca reside na apresentação de um valor crítico que não é derivável dos dados fornecidos, forçando o aluno a aceitar uma inconsistência ou a questionar a questão.
• (D) Incorreta: A regra de decisão "rejeitar H₀ se 𝑥̅ < 101,432" está incorreta na direção. Para $H_1: \mu > 100$, a região de rejeição deve ser na cauda superior (valores de $\bar{x}$ maiores que o crítico), não na cauda inferior.
• (E) Incorreta: A regra de decisão "rejeitar H₀ se 𝑥̅ > 108,50" implica um valor crítico para $\bar{x}$ de 108,50, o que é inconsistente com o $z$-valor e $\alpha$ fornecidos. Além disso, a decisão "rejeitar H₀" é inconsistente com o $\bar{x}$ calculado ($100.6 \ngtr 108.50$), que levaria a "não rejeitar H₀".