Questão de Estatística · FGV SEFAZ-MG 2022 - Tarde (nº 26)

O coeficiente de correlação é uma medida estatística que indica a força e a direção de uma relação linear entre duas variáveis aleatórias, variando de -1 (relação linear negativa perfeita) a +1 (relação linear positiva perfeita). Um valor de 0 significa que não há relação linear.

(A) Correta: O coeficiente de correlação é 0. Para calcular o coeficiente de correlação ($\rho_{XY}$), primeiro precisamos da covariância ($Cov(X, Y)$) e dos desvios-padrão ($\sigma_X, \sigma_Y$) de X e Y. A covariância é dada por $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$.
Calculando as probabilidades marginais:
$P(X=0) = 0.1 + 0.1 = 0.2$
$P(X=5) = 0.1 + 0.1 = 0.2$
$P(X=10) = 0.3 + 0.3 = 0.6$
$P(Y=0) = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5$
$P(Y=1) = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5$
Podemos observar que para cada par $(x, y)$, $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$. Por exemplo, $P(X=0, Y=0) = 0.1$ e $P(X=0)P(Y=0) = 0.2 \times 0.5 = 0.1$. Como essa igualdade se mantém para todos os pares, as variáveis X e Y são independentes. Uma propriedade fundamental é que, se duas variáveis aleatórias são independentes, sua covariância é sempre zero. Consequentemente, o coeficiente de correlação, que é $\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$, também será zero (desde que $\sigma_X$ e $\sigma_Y$ não sejam zero, o que é o caso aqui).
Alternativamente, calculando:
$E[X] = 0(0.2) + 5(0.2) + 10(0.6) = 0 + 1 + 6 = 7$
$E[Y] = 0(0.5) + 1(0.5) = 0 + 0.5 = 0.5$
$E[XY] = (0 \times 0 \times 0.1) + (0 \times 1 \times 0.1) + (5 \times 0 \times 0.1) + (5 \times 1 \times 0.1) + (10 \times 0 \times 0.3) + (10 \times 1 \times 0.3)$
$E[XY] = 0 + 0 + 0 + 0.5 + 0 + 3 = 3.5$
$Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 3.5 - (7 \times 0.5) = 3.5 - 3.5 = 0$.
Como a covariância é 0, o coeficiente de correlação também é 0.
(B) Incorreta: 0,1 é uma das probabilidades conjuntas ($P[X=5, Y=0]$), não o coeficiente de correlação.
(C) Incorreta: 0,2 é uma das probabilidades marginais de X ($P[X=0]$ ou $P[X=5]$), não o coeficiente de correlação.
(D) Incorreta: 0,5 é uma das probabilidades marginais de Y ($P[Y=0]$ ou $P[Y=1]$) e também o valor esperado de Y ($E[Y]$), mas não o coeficiente de correlação.
(E) Incorreta: 1,0 indicaria uma relação linear positiva perfeita entre X e Y, o que não é o caso aqui, pois as variáveis são independentes e não apresentam nenhuma relação linear.