Questão de Estatística · FGV SEFAZ-MG 2022 - Tarde (nº 25)

A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um número específico de "sucessos" em uma série de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é constante. Neste caso, temos $n=8$ tentativas (pessoas), a probabilidade de sucesso (ter a característica C) é $p=0.5$ (50%), e queremos a probabilidade de ter mais de cinco sucessos, ou seja, $P(X > 5)$, que é a soma das probabilidades de ter 6, 7 ou 8 sucessos.

A fórmula da probabilidade binomial é $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, onde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Calcular $P(X=6)$:
   P(X=6) = \binom{8}{6} (0.5)^6 (0.5)^{8-6} = \frac{8!}{6!2!} \times (0.5)^8 = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}\
2. Calcular $P(X=7)$:
   P(X=7) = \binom{8}{7} (0.5)^7 (0.5)^{8-7} = \frac{8!}{7!1!} \times (0.5)^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{8}{256}\
3. Calcular $P(X=8)$:
   $P(X=8) = \binom{8}{8} (0.5)^8 (0.5)^{8-8} = \frac{8!}{8!0!} \times (0.5)^8 = 1 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$

A probabilidade total é a soma:
$P(X > 5) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = \frac{28}{256} + \frac{8}{256} + \frac{1}{256} = \frac{37}{256}$

Convertendo para porcentagem:
$\frac{37}{256} \approx 0.14453125 \approx 14.45\%$

(A) Correta: A probabilidade calculada é de aproximadamente 14.45%, que arredonda para 14%.
(B) Incorreta: O valor calculado não corresponde a 18%.
(C) Incorreta: Esta alternativa seria tentadora se o aluno calculasse apenas a probabilidade de exatamente cinco pessoas terem a característica ($P(X=5) = \binom{8}{5} (0.5)^8 = 56/256 \approx 0.21875 \approx 22\%$), confundindo "mais de cinco" com "exatamente cinco".
(D) Incorreta: O valor calculado não corresponde a 25%.
(E) Incorreta: O valor calculado não corresponde a 29%.