Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 40)

O Teorema Central do Limite (TCL) afirma que, ao somarmos um número grande de variáveis aleatórias independentes (como os resultados das rodadas da roleta), a distribuição da soma se aproxima de uma distribuição normal (a famosa "curva em sino"), mesmo que as variáveis originais não sejam normais. Isso nos permite usar as propriedades da distribuição normal para calcular probabilidades de somas.

Para cada jogador, calculamos a média ($\mu_S = n \times \mu_X$) e o desvio padrão ($\sigma_S = \sqrt{n \times \sigma_X^2}$) da soma dos números, onde $\mu_X$ e $\sigma_X^2$ são a média e a variância de uma única rodada da roleta. A roleta sorteia um número uniformemente distribuído entre 0 e 6, então $\mu_X = (0+6)/2 = 3$ e $\sigma_X^2 = (6-0)^2/12 = 3$.

1. Indivíduo x ($n=27$):
   Média da soma: $\mu_S = 27 \times 3 = 81$
   Desvio padrão da soma: $\sigma_S = \sqrt{27 \times 3} = \sqrt{81} = 9$
   Para ganhar, a soma deve estar entre 90 e 144. Padronizando (calculando Z-scores):
   $Z_1 = (90 - 81) / 9 = 1$
   $Z_2 = (144 - 81) / 9 = 7$
   P_x = P(1 \le Z \le 7) = \Phi(7) - \Phi(1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587\

2. Indivíduo y ($n=40$):
   Média da soma: $\mu_S = 40 \times 3 = 120$
   Desvio padrão da soma: $\sigma_S = \sqrt{40 \times 3} = \sqrt{120} \approx 10.95$
   Para ganhar, a soma deve estar entre 90 e 144. Padronizando:
   $Z_1 = (90 - 120) / 10.95 \approx -2.74$
   $Z_2 = (144 - 120) / 10.95 \approx 2.19$
   P_y = P(-2.74 \le Z \le 2.19) = \Phi(2.19) - \Phi(-2.74) \approx 0.9857 - (1 - 0.9969) = 0.9857 - 0.0031 = 0.9826\

3. Indivíduo z ($n=75$):
   Média da soma: $\mu_S = 75 \times 3 = 225$
   Desvio padrão da soma: $\sigma_S = \sqrt{75 \times 3} = \sqrt{225} = 15$
   Para ganhar, a soma deve estar entre 90 e 144. Padronizando:
   $Z_1 = (90 - 225) / 15 = -9$
   $Z_2 = (144 - 225) / 15 = -5.4$
   $P_z = P(-9 \le Z \le -5.4) = \Phi(-5.4) - \Phi(-9) \approx 0 - 0 = 0$ (probabilidade extremamente pequena, praticamente zero)

Comparando as probabilidades: $P_y (0.9826) > P_x (0.1587) > P_z (0)$.

(A) Correta: A probabilidade de ganho para o indivíduo y é a maior (aprox. 0.9826), seguida pelo indivíduo x (aprox. 0.1587) e, por último, o indivíduo z (praticamente 0), confirmando a ordem Indivíduo y > Indivíduo x > Indivíduo z.
(B) Incorreta: Esta alternativa está incorreta pois a probabilidade de ganho do indivíduo x é menor que a do indivíduo y.
(C) Incorreta: Esta alternativa está incorreta porque a probabilidade de ganho do indivíduo z é a menor de todas, praticamente zero, devido à sua média de soma (225) estar muito distante do intervalo de ganho [90, 144]. Armadilha da banca: Um número maior de rodadas ($n$) não garante maior probabilidade de ganho se a média da soma se afastar do intervalo desejado.
(D) Incorreta: Esta alternativa está incorreta pois a probabilidade de ganho do indivíduo z é a menor, não maior que a do indivíduo x.
(E) Incorreta: Esta alternativa está incorreta pois a probabilidade de ganho do indivíduo x é menor que a do indivíduo y, e a do indivíduo z é a menor de todas.