Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 37)

Para entender como a probabilidade da variância amostral se comporta, usamos uma ferramenta estatística chamada distribuição qui-quadrado. Essa distribuição é especial para analisar a variabilidade (medida pela variância) de dados que vêm de uma distribuição normal (onde os dados se espalham de forma simétrica em torno da média). A chave é que, se a população original é normal, uma transformação da variância da amostra segue essa distribuição qui-quadrado, com um número de graus de liberdade igual ao tamanho da amostra menos um ($n-1$).

• (A) Correta: A probabilidade que buscamos é $P(s^2 > 100)$. Sabemos que a estatística $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ segue uma distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade. No problema, $n=10$ e $\sigma=10$, então $\sigma^2=100$. Substituindo, temos $P\left(\frac{(10-1)s^2}{100} > \frac{(10-1)100}{100}\right) = P\left(\frac{9s^2}{100} > 9\right)$. Se $X = \frac{9s^2}{100}$, então $X$ tem distribuição qui-quadrado com 9 graus de liberdade. Portanto, a probabilidade é $P(X > 9)$, que é o mesmo que $1 - P(X \le 9)$.
• (B) Incorreta: O valor de comparação é 9, não 10, e a desigualdade está no sentido oposto ao que foi derivado ($P(X < 10)$ em vez de $P(X > 9)$).
• (C) Incorreta: Esta é a armadilha da banca. Embora a forma $1 - Prob(X \le 9)$ esteja correta para a probabilidade complementar, a distribuição correta para a variância amostral de uma população normal é a qui-quadrado, não a t-Student. A distribuição t-Student é usada principalmente para inferência sobre a média quando o desvio-padrão populacional é desconhecido, não para a variância.
• (D) Incorreta: Tanto a direção da desigualdade quanto a distribuição estão incorretas.
• (E) Incorreta: O valor de comparação (10 em vez de 9) e a distribuição (t-Student em vez de qui-quadrado) estão incorretos.