Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 36)

Uma transformação linear de uma variável significa que cada valor dela é alterado seguindo a fórmula $Y = aX + b$, onde $X$ é o valor original, $Y$ é o valor transformado, $a$ é um fator de multiplicação e $b$ é um valor somado (ou subtraído, se for negativo). Essa transformação afeta a média (o valor central) e a variância (a dispersão dos dados) de formas específicas.

Para resolver, usamos as propriedades da transformação linear:

1. A nova média ($\mu_Y$) será $\mu_Y = a\mu_X + b$.
2. O novo desvio padrão ($\sigma_Y$) será $\sigma_Y = |a|\sigma_X$. (Lembre-se que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância).

Dados do problema:
Série original ($X$): $\mu_X = 66$, $\sigma_X^2 = 144 \implies \sigma_X = \sqrt{144} = 12$.
Série desejada ($Y$): $\mu_Y = 60$, $\sigma_Y^2 = 100 \implies \sigma_Y = \sqrt{100} = 10$.

Primeiro, calculamos o fator de multiplicação $a$ usando os desvios padrão:
$\sigma_Y = a\sigma_X \implies 10 = a \times 12 \implies a = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Agora, calculamos o valor $b$ usando as médias e o $a$ encontrado:
$\mu_Y = a\mu_X + b \implies 60 = \left(\frac{5}{6}\right) \times 66 + b$
$60 = 5 \times 11 + b$
$60 = 55 + b$
$b = 60 - 55 \implies b = 5$.

Portanto, cada observação deve ser multiplicada por $\frac{5}{6}$ e adicionada de 5.

Comentário das alternativas:

(A) Incorreta: Multiplicar por $\frac{6}{5}$ (o inverso de $a$) e diminuir de 6 não leva aos resultados desejados. O fator de multiplicação $a$ está invertido, e o valor $b$ também está incorreto.
(B) Incorreta: O fator de multiplicação $a = \frac{1}{5}$ e o valor $b = -5$ estão incorretos.
(C) Correta: Multiplicada por $\frac{5}{6}$ e adicionada de 5. Esta é a solução que encontramos, pois $a = \frac{5}{6}$ e $b = 5$.
(D) Incorreta: Multiplicada por $\frac{5}{6}$ (correto) e adicionada de 6 (incorreto). Esta é uma pegadinha comum: o fator de multiplicação $a$ está correto, mas o valor $b$ foi calculado erroneamente, talvez por um erro de sinal ou aritmética na etapa final ($b = \mu_Y - a\mu_X$). O aluno pode ter chegado a $60 - 55 = 5$e, por desatenção, marcado 6. **(E) Incorreta:** Multiplicada por$\frac{6}{5}$(o inverso de$a$) e adicionada de 6 (incorreto). Ambos os parâmetros$a$e$b$ estão errados.