Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 35)

A estimação por máxima verossimilhança (EMV) é um método para encontrar os valores dos parâmetros de um modelo estatístico que tornam a probabilidade de observar os dados amostrais (a função de verossimilhança) a maior possível. Para uma população normalmente distribuída, a EMV da média populacional ($\mu$) é a média amostral ($\bar{x}$), e a EMV da variância populacional ($\sigma^2$) é a soma dos quadrados dos desvios em relação à média amostral dividida pelo tamanho da amostra ($n$), ou seja, $\hat{\sigma}^2_{MLE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$.

Dados: 2,1; 3,8; 3,1; 3,0. Tamanho da amostra $n=4$.

1. Cálculo da média amostral ($\hat{\mu}_{MLE}$):
   $\bar{x} = \frac{2,1 + 3,8 + 3,1 + 3,0}{4} = \frac{12,0}{4} = 3,0$.

2. Cálculo da variância amostral por EMV ($\hat{\sigma}^2_{MLE}$):
   Primeiro, calculamos os desvios em relação à média e os elevamos ao quadrado:
   $(2,1 - 3,0)^2 = (-0,9)^2 = 0,81$
   $(3,8 - 3,0)^2 = (0,8)^2 = 0,64$
   $(3,1 - 3,0)^2 = (0,1)^2 = 0,01$
   $(3,0 - 3,0)^2 = (0,0)^2 = 0,00$
   Soma dos quadrados dos desvios: $0,81 + 0,64 + 0,01 + 0,00 = 1,46$.$\hat{\sigma}^2_{MLE} = \frac{1,46}{4} = 0,365$.

As estimativas de máxima verossimilhança são 3,0 para a média e 0,365 para a variância.

(A) Incorreta: A média está correta (3,0), mas a variância (0,486) é o resultado de usar $n-1$ no denominador ($1,46 / 3 \approx 0,4866$) em vez de $n$. Esta é a armadilha da banca, pois 0,486 é a estimativa da variância amostral não viesada (unbiased sample variance), que é $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2$, e não a estimativa de máxima verossimilhança.
(B) Incorreta: A média (2,8) está incorreta.
(C) Incorreta: A média (2,8) está incorreta.
(D) Incorreta: A média está correta (3,0), mas a variância (0,544) está incorreta.
(E) Correta: A média (3,0) e a variância (0,365) estão corretas, conforme os cálculos de máxima verossimilhança.