Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 34)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de um parâmetro populacional (como a média), fornecendo uma faixa de valores onde o parâmetro provavelmente se encontra, com um certo nível de confiança. Para a média, quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é grande, usamos a distribuição Z para aproximar o intervalo.

• Cálculo da estimativa do desvio padrão amostral ($s$):
  A variância amostral $s^2$ é dada por $\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$.
  $s^2 = \frac{896}{225-1} = \frac{896}{224} = 4$.
  O desvio padrão amostral é $s = \sqrt{4} = 2$.

• Cálculo do erro padrão da média ($SE$):
  $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{225}} = \frac{2}{15} \approx 0,1333$.

• Determinação do valor crítico Z:
  Para um intervalo de 95% de confiança, precisamos de $Z_{\alpha/2}$. Se o nível de confiança é 95% (0,95), então $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$. Assim, $\alpha/2 = 0,025$.
  Procuramos o valor de Z tal que a área à sua direita seja 0,025, ou seja, $P[Z > Z_{0,025}] = 0,025$. Isso é equivalente a $P[Z < Z_{0,025}] = 1 - 0,025 = 0,975$.
  O problema informa que $P[Z < 1,96] = 0,975$. Portanto, o valor crítico $Z_{\alpha/2} = 1,96$.

• Cálculo da margem de erro ($ME$):
  $ME = Z_{\alpha/2} \times SE = 1,96 \times \frac{2}{15} = 1,96 \times 0,13333... \approx 0,2613$.

• Construção do intervalo de confiança:
  O intervalo é $\bar{x} \pm ME$.
  Limite inferior: $28,2 - 0,2613 = 27,9387 \approx 27,94$.
  Limite superior: $28,2 + 0,2613 = 28,4613 \approx 28,46$.
  O intervalo de confiança de 95% é aproximadamente $(27,94; 28,46)$.

• (A) Correta: O cálculo resulta em $(27,94; 28,46)$, que corresponde a esta alternativa.

• (B) Incorreta: Os limites estão incorretos, sugerindo um erro no cálculo da margem de erro ou do desvio padrão.

• (C) Incorreta: Os limites estão incorretos, sugerindo um erro no cálculo da margem de erro ou do desvio padrão.

• (D) Incorreta: Os limites estão incorretos, sugerindo um erro no cálculo da margem de erro ou do desvio padrão.

• (E) Incorreta: Os limites estão incorretos, sugerindo um erro no cálculo da margem de erro ou do desvio padrão. Armadilha: Uma pegadinha comum seria usar $Z=1,64$ para um intervalo de 95% de confiança. No entanto, $P[Z < 1,64] = 0,95$ significa que 1,64 é o valor crítico para um teste unilateral de 5% ou um intervalo de confiança de 90% bilateral, e não para um intervalo de 95% bilateral, que exige $Z=1,96$. Se $Z=1,64$ fosse usado, a margem de erro seria $1,64 \times (2/15) \approx 0,2187$, resultando no intervalo $(27,98; 28,42)$, que não é uma das opções, mas é um erro conceitual comum.