Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 33)

A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um certo número de "sucessos" em uma série de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é a mesma para cada tentativa.

• (A) Correta: A probabilidade de que mais de 3 pessoas tenham sido vacinadas significa que exatamente 4 ou exatamente 5 pessoas foram vacinadas. Usamos a distribuição binomial com $n=5$ (número de pessoas na amostra), $p=0.6$ (probabilidade de sucesso, ou seja, ser vacinado) e $1-p=0.4$(probabilidade de fracasso, ou seja, não ser vacinado). A fórmula é$P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^{(n-k)}$, onde$C(n, k)$ é o coeficiente binomial.
  • Para $k=4$: $P(X=4) = C(5, 4) * (0.6)^4 * (0.4)^1 = 5 * 0.1296 * 0.4 = 0.2592$.
  • Para $k=5$: $P(X=5) = C(5, 5) * (0.6)^5 * (0.4)^0 = 1 * 0.07776 * 1 = 0.07776$.
  • A probabilidade total é $P(X>3) = P(X=4) + P(X=5) = 0.2592 + 0.07776 = 0.33696$, que arredondado é aproximadamente 0,34.
    Armadilha da banca: Um erro comum é interpretar "mais de 3" como "exatamente 3". A probabilidade de exatamente 3 pessoas serem vacinadas é $P(X=3) = C(5, 3) * (0.6)^3 * (0.4)^2 = 10 * 0.216 * 0.16 = 0.3456$, que também é muito próxima de 0,34, mas não é a resposta para a pergunta "mais de 3".
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade de mais de 3 pessoas vacinadas.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade de mais de 3 pessoas vacinadas.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade de mais de 3 pessoas vacinadas.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade de mais de 3 pessoas vacinadas.