Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 17)

O Princípio da Inclusão-Exclusão nos ajuda a contar elementos em conjuntos que se sobrepõem, garantindo que nenhum elemento seja contado mais de uma vez ao somarmos as partes. A ideia é que, para saber o total de elementos em pelo menos um de dois conjuntos (A ou B), somamos os elementos de A, somamos os elementos de B e, para corrigir a dupla contagem, subtraímos os elementos que estão em ambos (na interseção).

Dados:

• Total de pessoas no grupo ($|U|$) = 70
• Capixabas ($|C|$) = 50
• Torcedores do Vasco ($|V|$) = 40

Usando o Princípio da Inclusão-Exclusão: $|C \cup V| = |C| + |V| - |C \cap V|$.
Substituindo os valores: $|C \cup V| = 50 + 40 - |C \cap V| = 90 - |C \cap V|$.

Agora, vamos analisar os limites para $|C \cap V|$ (capixabas torcedores do Vasco):

1. Mínimo de $|C \cap V|$: O número de pessoas que são capixabas OU torcedores do Vasco ($|C \cup V|$) não pode ser maior que o total de pessoas no grupo ($|U|$).
   $|C \cup V| \le |U|$
   $90 - |C \cap V| \le 70$
   $90 - 70 \le |C \cap V|$
   $20 \le |C \cap V|$
   Isso significa que no mínimo 20 pessoas são capixabas torcedores do Vasco.

2. Máximo de $|C \cap V|$: O número de pessoas que são capixabas E torcedores do Vasco ($|C \cap V|$) não pode ser maior que o número de pessoas em cada um dos grupos individualmente.
   $|C \cap V| \le |C|$ (ou seja, $|C \cap V| \le 50$)
   $|C \cap V| \le |V|$ (ou seja, $|C \cap V| \le 40$)
   Portanto, $|C \cap V|$ não pode ser maior que o menor dos dois grupos.
   $|C \cap V| \le \min(50, 40)$
   $|C \cap V| \le 40$
   Isso significa que no máximo 40 pessoas são capixabas torcedores do Vasco.

Combinando os dois limites, temos que $20 \le |C \cap V| \le 40$.

• (A) Incorreta: A afirmação "no máximo 20" contradiz nosso cálculo de que "no mínimo 20" são capixabas torcedores do Vasco. Armadilha da banca: O número 20 é um limite, mas é o limite inferior (mínimo), não o superior (máximo).
• (B) Incorreta: "Não são nem capixabas nem torcedores do Vasco" significa pessoas fora da união ($|U| - |C \cup V|$). Como $50 \le |C \cup V| \le 70$, então $70 - 70 \le |U| - |C \cup V| \le 70 - 50$, ou seja, $0 \le |U| - |C \cup V| \le 20$. O mínimo é 0, não 20.
• (C) Incorreta: "Capixabas não torcedores do Vasco" é $|C| - |C \cap V|$. Como $20 \le |C \cap V| \le 40$, então $50 - 40 \le |C| - |C \cap V| \le 50 - 20$, ou seja, $10 \le |C| - |C \cap V| \le 30$. O valor pode variar entre 10 e 30, não é "exatamente 30".
• (D) Correta: Nosso cálculo determinou que o número de capixabas torcedores do Vasco ($|C \cap V|$) não pode ser maior que 40, ou seja, "no máximo 40".
• (E) Incorreta: Nosso cálculo mostrou que "no mínimo 20" são capixabas torcedores do Vasco, o que torna impossível que "nenhuma delas" seja (ou seja, 0).