Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 16)

Para resolver problemas de dedução lógica com condicionais ("Se P então Q"), partimos das premissas (sentenças que sabemos serem verdadeiras) para encontrar uma conclusão que necessariamente seja verdadeira. Uma condicional só é falsa se sua primeira parte (antecedente) for verdadeira e sua segunda parte (consequente) for falsa; em todos os outros casos, ela é verdadeira.

Vamos definir as proposições para simplificar:

• P: Pedro é capixaba
• R: Raquel é carioca
• N: Renata é pernambucana

As 3 premissas (sentenças verdadeiras) são:

1. (P \lor \neg R) \to \neg N\
2. (\neg P \lor N) \to R\
3. $\neg R \to (P \land N)$

Análise das alternativas:

• (A) Incorreta: Pedro é capixaba.
  Após concluir que Raquel é carioca (R é V), a premissa 1 se torna $(P \lor F) \to \neg N$, que simplifica para $P \to \neg N$. Isso significa que se Pedro for capixaba (P é V), Renata não é pernambucana (N é F). No entanto, se Pedro não for capixaba (P é F), Renata pode ou não ser pernambucana. Portanto, não podemos concluir que Pedro é necessariamente capixaba.

• (B) Correta: Raquel é carioca.
  Vamos usar a técnica da prova por contradição. Assumimos o oposto da conclusão que queremos provar e vemos se isso leva a uma inconsistência com as premissas.

  1. Assumimos que Raquel não é carioca ($\neg R$ é verdadeira).
  2. Pela premissa 3 ($\neg R \to (P \land N)$), como $\neg R$ é verdadeira e a premissa é verdadeira, o consequente $(P \land N)$ deve ser verdadeiro. Isso implica que P é verdadeira (Pedro é capixaba) e N é verdadeira (Renata é pernambucana).
  3. Agora, substituímos esses valores (P verdadeira, $\neg R$ verdadeira, N verdadeira) na premissa 1: $(P \lor \neg R) \to \neg N$.
     $(Verdadeiro \lor Verdadeiro) \to \neg Verdadeiro$
     $(Verdadeiro) \to Falso$
     Esta expressão resulta em uma proposição FALSA.
  4. Chegamos a uma contradição, pois a premissa 1 é dada como verdadeira. Portanto, nossa suposição inicial de que "Raquel não é carioca" deve ser falsa. A única conclusão possível é que Raquel é carioca.

• (C) Incorreta: Renata é pernambucana.
  Sabendo que Raquel é carioca (R é V), a premissa 1 se torna $P \to \neg N$. Se Pedro não for capixaba (P é F), então $F \to \neg N$ é sempre verdadeira, independentemente de N ser verdadeira ou falsa. Portanto, não podemos concluir que Renata é necessariamente pernambucana.

• (D) Incorreta: Pedro não é capixaba.
  Sabendo que Raquel é carioca (R é V), a premissa 1 se torna $P \to \neg N$. Se Pedro for capixaba (P é V), então Renata não é pernambucana (N é F). Isso é consistente. Se Pedro não for capixaba (P é F), então Renata pode ou não ser pernambucana. Portanto, não podemos concluir que Pedro necessariamente não é capixaba.

• (E) Incorreta: Raquel não é carioca.
  Esta alternativa é a negação da resposta correta (B). Como demonstramos na explicação da alternativa B, assumir que "Raquel não é carioca" leva a uma contradição com as premissas dadas como verdadeiras. Portanto, esta afirmação é falsa. Esta é a armadilha da banca, pois é o ponto de partida para a prova por contradição que leva à resposta correta, e pode confundir o aluno que não seguir o raciocínio completo.