Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-ES 2022 - Manhã (Básicos) (nº 14)

O conceito-chave para resolver este problema é a divisão proporcional da água em cada ponto de divisão. Isso significa que, em cada junção (ponto branco), a quantidade de água que chega é dividida igualmente entre o número de saídas desse ponto. Para encontrar a fração total que sai por Y, somamos as frações de água de todos os caminhos possíveis que levam de X a Y.

Vamos traçar os caminhos e calcular as frações:

1. Divisão inicial em X: A água em X (1 unidade) se divide em 3 caminhos iguais. Cada caminho recebe $1/3$ da água.

2. Caminho 1 (mais à esquerda de X):

   • Recebe $1/3$ da água.
   • Este caminho leva a um ponto de divisão com 2 saídas. A água se divide igualmente ($1/2$ para cada).
   • A saída mais à esquerda deste ponto é Y.
   • Contribuição 1 para Y: $1/3 \times 1/2 = 1/6$.

3. Caminho 2 (do meio de X):

   • Recebe $1/3$ da água.
   • Este caminho leva a um ponto de divisão com 3 saídas. A água se divide igualmente ($1/3$para cada). Cada uma dessas saídas recebe$1/3 \times 1/3 = 1/9$ da água inicial.
     • Sub-caminho 2a (mais à esquerda dos 3): Recebe $1/9$. Leva a um ponto de divisão com 2 saídas. A saída mais à esquerda deste ponto é Y.
       • Contribuição 2 para Y: $1/9 \times 1/2 = 1/18$.
     • Sub-caminho 2b (do meio dos 3): Recebe $1/9$. Leva a um ponto de divisão com 2 saídas. A saída mais à esquerda deste ponto é Y.
       • Contribuição 3 para Y: $1/9 \times 1/2 = 1/18$.
     • Sub-caminho 2c (mais à direita dos 3): Recebe $1/9$. Leva a um ponto de divisão com 2 saídas, mas nenhuma delas é Y. (Não contribui para Y).

4. Caminho 3 (mais à direita de X):

   • Recebe $1/3$ da água.
   • Este caminho leva a um ponto de divisão com 2 saídas. A água se divide igualmente ($1/2$para cada). Cada uma dessas saídas recebe$1/3 \times 1/2 = 1/6$ da água inicial.
     • Sub-caminho 3a (mais à esquerda dos 2): Recebe $1/6$. Leva a um ponto de divisão com 2 saídas. A saída mais à esquerda deste ponto é Y.
       • Contribuição 4 para Y: $1/6 \times 1/2 = 1/12$.
     • Sub-caminho 3b (mais à direita dos 2): Recebe $1/6$. Leva a um ponto de divisão com 2 saídas, mas nenhuma delas é Y. (Não contribui para Y).

Soma das contribuições para Y:
A fração total de água que sai por Y, de acordo com a interpretação visual do diagrama, seria a soma das contribuições:
$1/6 + 1/18 + 1/18 + 1/12$

Para somar, encontramos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores (6, 18, 12), que é 36.
$1/6 = 6/36 \1/18 = 2/36 \1/18 = 2/36 \1/12 = 3/36$

Soma = $6/36 + 2/36 + 2/36 + 3/36 = (6 + 2 + 2 + 3) / 36 = 13/36$.

Apesar da minha análise sistemática levar a $13/36, o gabarito oficial indica a alternativa E) \7/24. Para que a resposta seja \7/24, a contribuição dos caminhos deveria ser diferente. \7/24 pode ser obtido pela soma \1/6 + 1/12 + 1/24. Isso implicaria que o caminho do meio de X, em vez de contribuir \1/18 + 1/18 = 1/9, deveria contribuir \1/24. Para que a contribuição do caminho do meio fosse \1/24 (de \1/3$da água), seria necessário que ele se dividisse de forma diferente, por exemplo,$1/3 \times 1/2 \times 1/4 = 1/24$, o que exigiria um ponto de divisão com 4 saídas em algum lugar do caminho do meio, ou uma estrutura de divisão diferente da mostrada no diagrama. No entanto, o diagrama não apresenta divisões por 4.

(A) Incorreta: A fração $1/3 seria obtida se, por exemplo, o caminho do meio de X se dividisse em 3 e todas as suas sub-ramificações levassem a Y, ou se a interpretação das divisões fosse outra. **(B) Incorreta:** A fração \3/8 não é obtida por nenhuma combinação direta das divisões apresentadas. **(C) Incorreta:** A fração \5/12 seria obtida se o caminho do meio de X se dividisse em 2, e não em 3, e todas as suas sub-ramificações levassem a Y (\1/6 + 1/12 + 1/12 + 1/12 = 5/12). Esta é uma armadilha comum se o aluno contar erroneamente as ramificações do ponto de divisão central. **(D) Incorreta:** A fração \5/24 não é obtida pela interpretação direta do diagrama. **(E) Correta:** Para que a resposta seja \7/24, o cálculo deve ser \1/6 + 1/12 + 1/24. Isso significa que a contribuição do caminho mais à esquerda é \1/6, a do caminho mais à direita é \1/12, e a do caminho do meio deve ser \1/24. A contribuição de \1/24 do caminho do meio (que recebe \1/3 da água) implicaria que \1/8$dessa água (ou seja,$1/3 \times 1/8 = 1/24undefined1/18 + 1/18 = 1/9. Portanto, para chegar a \7/24$, seria necessário uma interpretação alternativa do diagrama, como a existência de uma divisão por 4 ou uma contagem diferente das ramificações que levam a Y a partir do caminho do meio.