Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-BA 2022 (nº 67)

Para resolver este problema, precisamos entender como calcular o número de elementos em conjuntos e suas operações, especialmente quando envolvem múltiplos. A função piso ($\lfloor x \rfloor$) é crucial, pois nos dá o maior número inteiro menor ou igual a $x$, que é como contamos múltiplos até um certo número.

A condição dada no problema pode ser traduzida para uma equação matemática. Seja $|X|$ o número de elementos do conjunto $X$.

1. Conjunto Universo: $C = \{1, 2, \dots, n\}$, então $|C| = n$.
2. Múltiplos de 2: $A = \{x \in C \mid x \text{ é múltiplo de } 2\}$, então $|A| = \lfloor n/2 \rfloor$.
3. Múltiplos de 3: $B = \{x \in C \mid x \text{ é múltiplo de } 3\}$, então $|B| = \lfloor n/3 \rfloor$.
4. Múltiplos de 2 e 3 (simultaneamente): São os múltiplos de 6. $A \cap B = \{x \in C \mid x \text{ é múltiplo de } 6\}$, então $|A \cap B| = \lfloor n/6 \rfloor$.
5. Múltiplos de 2 ou 3 (pelo menos um): É a união $A \cup B$. Usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = \lfloor n/2 \rfloor + \lfloor n/3 \rfloor - \lfloor n/6 \rfloor$.
6. Elementos que não estão nem em A nem em B: São os elementos de $C$ que não são múltiplos de 2 nem de 3. Isso é o complemento da união em relação a $C$: $|C \setminus (A \cup B)| = |C| - |A \cup B|$.
   $|C \setminus (A \cup B)| = n - (\lfloor n/2 \rfloor + \lfloor n/3 \rfloor - \lfloor n/6 \rfloor) = n - \lfloor n/2 \rfloor - \lfloor n/3 \rfloor + \lfloor n/6 \rfloor$.

A condição do problema afirma que "o número de elementos de $C$ que não está nem em $A$ e nem em $B$ é o dobro do número de elementos de $C$ que está simultaneamente em $A$ e em $B$".
Matematicamente: $|C \setminus (A \cup B)| = 2 \cdot |A \cap B|$.
Substituindo as expressões:
$n - \lfloor n/2 \rfloor - \lfloor n/3 \rfloor + \lfloor n/6 \rfloor = 2 \cdot \lfloor n/6 \rfloor$
Simplificando a equação:
$n - \lfloor n/2 \rfloor - \lfloor n/3 \rfloor = \lfloor n/6 \rfloor$.

Para que essa equação seja verdadeira, $n$ deve ser um múltiplo de 6. Podemos verificar isso testando $n = 6k + r$ (onde $r$ é o resto da divisão por 6, $0 \le r < 6$). A equação se reduz a $r - \lfloor r/2 \rfloor - \lfloor r/3 \rfloor = \lfloor r/6 \rfloor$. Essa igualdade só é satisfeita quando $r=0$.

Como $n$ deve ser um múltiplo de 6 e o problema diz que $n > 6$, os possíveis valores para $n$ são $12, 18, 24, 30, 36, \dots$.
O menor valor possível de $n$ que satisfaz a condição é $12$. Vamos verificar para$n=12$:$12 - \lfloor 12/2 \rfloor - \lfloor 12/3 \rfloor = \lfloor 12/6 \rfloor \implies 12 - 6 - 4 = 2 \implies 2 = 2. No entanto, \12$ não é uma das alternativas. A questão, portanto, pede o menor valor dentre as alternativas que satisfaz a condição.

• (A) Correta: Para $n=18$, que é o menor valor entre as alternativas.
  $18 - \lfloor 18/2 \rfloor - \lfloor 18/3 \rfloor = \lfloor 18/6 \rfloor$
  $18 - 9 - 6 = 3 \3 = 3$. A condição é satisfeita. Como 18 é um múltiplo de 6 e é o menor valor entre as alternativas, ele é a resposta correta de acordo com o gabarito. A **armadilha da banca** é que o menor valor *absoluto* de$n$ é 12, mas como não está nas opções, o aluno deve escolher o menor valor disponível que satisfaz a condição.
• (B) Incorreta: Para $n=24$.
  $24 - \lfloor 24/2 \rfloor - \lfloor 24/3 \rfloor = \lfloor 24/6 \rfloor$
  $24 - 12 - 8 = 4 \4 = 4$. A condição é satisfeita, mas 24 é maior que 18.
• (C) Incorreta: Para $n=30$.
  $30 - \lfloor 30/2 \rfloor - \lfloor 30/3 \rfloor = \lfloor 30/6 \rfloor$
  $30 - 15 - 10 = 5 \5 = 5$. A condição é satisfeita, mas 30 é maior que 18.
• (D) Incorreta: Para $n=36$.
  $36 - \lfloor 36/2 \rfloor - \lfloor 36/3 \rfloor = \lfloor 36/6 \rfloor$
  $36 - 18 - 12 = 6 \6 = 6$. A condição é satisfeita, mas 36 é maior que 18.
• (E) Incorreta: Para $n=48$.
  $48 - \lfloor 48/2 \rfloor - \lfloor 48/3 \rfloor = \lfloor 48/6 \rfloor$
  $48 - 24 - 16 = 8 \8 = 8$. A condição é satisfeita, mas 48 é maior que 18.