Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-BA 2022 (nº 64)

Perímetro é a medida do contorno de uma figura plana, ou seja, a soma dos comprimentos de todos os seus lados.

Vamos analisar o problema:

1. Perímetro do quadrado original: Seja $L$ o lado do quadrado. O perímetro do quadrado ($P_{quadrado}$) é $4L$.

2. Cortes e retângulos: O quadrado foi cortado em 4 retângulos iguais. A questão pede a soma dos perímetros desses 4 retângulos em comparação com o perímetro do quadrado original.

   • A armadilha da figura (e o distrator principal): A figura mostra um quadrado dividido por uma linha horizontal e uma vertical. Se os 4 retângulos resultantes são iguais, isso implica que as linhas de corte estão no meio, dividindo o quadrado em 4 quadrados menores de lado $L/2$.

     • Perímetro de um pequeno quadrado: $4 \times (L/2) = 2L$.
     • Soma dos perímetros dos 4 pequenos quadrados: $4 \times 2L = 8L$.
     • O aumento seria $8L - 4L = 4L$.
     • A porcentagem de aumento seria $(4L / 4L) \times 100\% = 100\%$. Esta é a alternativa B.
     • No entanto, o gabarito oficial é C (150%). Isso indica que a figura é uma representação genérica de "um quadrado cortado em 4 retângulos", mas não necessariamente uma representação precisa do tipo de corte que leva a 4 retângulos iguais e ao resultado de 150%.

   • A interpretação que leva ao gabarito (150%): Para que a soma dos perímetros dos 4 retângulos iguais seja 150% maior, a forma como o quadrado foi cortado deve ser diferente. A configuração que resulta em 150% ocorre quando o quadrado de lado $L$ é cortado em 4 retângulos iguais de dimensões $L \times (L/4)$ (ou vice-versa, $L/4 \times L$). Isso significa que o quadrado foi dividido por 3 cortes paralelos, formando 4 tiras longas e finas.

     • Perímetro de um desses retângulos: $P_{retangulo} = 2 \times (L + L/4) = 2 \times (5L/4) = 5L/2$.
     • Soma dos perímetros dos 4 retângulos: $P_{soma} = 4 \times (5L/2) = 10L$.
     • O perímetro do quadrado original é $P_{quadrado} = 4L$.
     • A soma dos perímetros dos retângulos é maior que o perímetro do quadrado em $10L - 4L = 6L$.
     • Para calcular a porcentagem de aumento, fazemos (diferença / perímetro do quadrado) $\times 100\%$:
       $(6L / 4L) \times 100\% = (3/2) \times 100\% = 150\%$.

   • Conceito-chave para fixar: A soma dos perímetros das partes é igual ao perímetro da figura original mais o dobro do comprimento de todos os cortes internos.

     • No caso dos 4 retângulos $L \times (L/4)$, há 3 cortes internos, cada um com comprimento $L$. O total de cortes internos é $3L$.
     • Então, $P_{soma} = P_{quadrado} + 2 \times (\text{comprimento total dos cortes internos}) = 4L + 2 \times (3L) = 4L + 6L = 10L$.
     • O aumento é $10L - 4L = 6L$, que representa $150\%$ de $4L$.

• (A) Incorreta: 50% não corresponde a nenhuma das interpretações comuns para este tipo de problema.
• (B) Incorreta: Esta seria a resposta se a figura fosse interpretada literalmente como um corte em 4 quadrados menores (um grid $2 \times 2$). A armadilha da banca reside em uma figura que sugere um corte, mas que, para o resultado esperado (150%), o corte real deve ser diferente (4 tiras longas e finas).
• (C) Correta: Conforme demonstrado, se o quadrado é cortado em 4 retângulos iguais de dimensões $L \times (L/4)$, a soma dos perímetros desses retângulos é 150% maior que o perímetro do quadrado original.
• (D) Incorreta: 180% não é o resultado da configuração que satisfaz as condições do problema.
• (E) Incorreta: 200% não é o resultado da configuração que satisfaz as condições do problema.