Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-AM 2022 (nº 16)

O Princípio da Inclusão-Exclusão é uma técnica de contagem que nos ajuda a determinar o número de elementos em uma união de conjuntos, somando os elementos de cada conjunto e subtraindo os elementos que foram contados mais de uma vez (aqueles na intersecção).

(A) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma das contagens parciais ou à aplicação correta do Princípio da Inclusão-Exclusão.
(B) Incorreta: Este valor (48) representa apenas o número de filas que começam com um homem (2 escolhas para o primeiro homem, e $4!$para os restantes =$2 \times 24 = 48$) ou apenas o número de filas que terminam com um homem, sem considerar a união das condições.
(C) Correta: O número de filas é calculado usando o Princípio da Inclusão-Exclusão.

1. Fila começa com um homem (A): Há 2 escolhas para o primeiro homem. As 4 pessoas restantes podem ser arranjadas de $4!$maneiras. Então,$N(A) = 2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$.
2. Fila termina com um homem (B): Há 2 escolhas para o último homem. As 4 pessoas restantes podem ser arranjadas de $4!$maneiras. Então,$N(B) = 2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$.
3. Fila começa E termina com um homem (A ∩ B): Há 2 escolhas para o primeiro homem e 1 escolha para o último homem (o outro homem). As 3 mulheres restantes podem ser arranjadas nas posições do meio de $3!$maneiras. Então,$N(A \cap B) = 2 \times 1 \times 3! = 2 \times 6 = 12$. Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão:$N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B) = 48 + 48 - 12 = 84$. **(D) Incorreta:** Esta alternativa (96) é o resultado de somar o número de filas que começam com um homem (48) e o número de filas que terminam com um homem (48), sem subtrair as filas que satisfazem AMBAS as condições. Essa é a armadilha mais comum, pois conta duas vezes os casos em que a fila começa E termina com um homem. **(E) Incorreta:** Este valor (120) representa o número total de maneiras de organizar 5 pessoas distintas em uma fila ($5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$), sem considerar nenhuma das restrições impostas pelo problema.