Questão de Raciocínio Lógico-Matemático e Estatística · FGV Receita Federal do Brasil 2023 - Manhã (nº 34)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de um parâmetro populacional (como a média $\mu$) na forma de uma faixa de valores, em vez de um único valor. Ele é construído com base em dados de uma amostra e um nível de confiança (por exemplo, 95%), que indica a probabilidade de que o intervalo contenha o verdadeiro valor do parâmetro.

Para a média populacional $\mu$ quando o desvio padrão populacional $\sigma$ é conhecido, o intervalo de confiança é dado por:
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral.
• $z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado (para 95%, $z_{\alpha/2} = 1,96$).
• $\sigma$ é o desvio padrão populacional.
• $n$ é o tamanho da amostra.

Dados do problema:

• Média amostral ($\bar{x}$) = 44,65
• Tamanho da amostra ($n$) = 64
• Variância populacional ($\sigma^2$) = 100, então o desvio padrão populacional ($\sigma$) = $\sqrt{100} = 10$.
• Valor crítico ($z_{\alpha/2}$) para 95% de confiança = 1,96.

Primeiro, calculamos o erro padrão da média:
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{64}} = \frac{10}{8} = 1,25$

Em seguida, calculamos a margem de erro:
$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot 1,25 = 2,45$

Agora, construímos o intervalo de confiança:
Limite inferior = $\bar{x} - E = 44,65 - 2,45 = 42,20$
Limite superior = $\bar{x} + E = 44,65 + 2,45 = 47,10$

O intervalo de 95% de confiança para $\mu$ é $(42,20; 47,10)$.

• (A) Correta: O cálculo do intervalo de confiança resulta em $(42,2; 47,1)$, que corresponde exatamente a esta alternativa.
• (B) Incorreta: Esta alternativa resultaria de uma margem de erro de 3,45 (pois $48,1 - 44,65 = 3,45$), o que indica um erro na multiplicação de$1,96 \times 1,25$. Esta é a armadilha da banca, pois um erro aritmético simples na margem de erro pode levar a esta resposta.
• (C) Incorreta: Esta alternativa resultaria de uma margem de erro de 4,45, que é significativamente maior do que o valor correto e não corresponde aos cálculos.
• (D) Incorreta: Esta alternativa resultaria de uma margem de erro de 5,45, que é muito maior do que o valor correto.
• (E) Incorreta: Esta alternativa resultaria de uma margem de erro de 6,45, que é muito maior do que o valor correto.