Questão de Matemática · FGV PMESP Sargento 2024 (nº 36)

O conceito-chave aqui é a distribuição de objetos distintos em caixas distintas, com a condição de que nenhuma caixa fique vazia. Isso significa que cada sargento (caixa) deve receber pelo menos uma condecoração (objeto).

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a nenhum cálculo lógico para o problema, que envolve escolhas combinatórias e restrições.
(B) Incorreta: O valor 24 poderia ser obtido se fosse a permutação de 4 elementos ($4! = 24$), ou a distribuição de 3 condecorações para 3 sargentos (uma para cada,$P(4,3) = 24$), mas o problema envolve 4 condecorações e a garantia de que todas sejam distribuídas.
(C) Correta: Para resolver este problema, podemos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão ou uma abordagem direta.
Método 1: Princípio da Inclusão-Exclusão

1. Total de maneiras sem restrição: Cada uma das 4 condecorações distintas pode ser dada a qualquer um dos 3 sargentos distintos. Assim, há $3^4 = 81$ maneiras.
2. Subtrair casos onde pelo menos um sargento não recebe condecoração:
   • Escolher 1 sargento para não receber: $\binom{3}{1}$ maneiras. As 4 condecorações são distribuídas entre os 2 sargentos restantes: $2^4$ maneiras. Total: $\binom{3}{1} \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$.
   • Escolher 2 sargentos para não receber: $\binom{3}{2}$ maneiras. As 4 condecorações são distribuídas para o 1 sargento restante: $1^4$ maneira. Total: $\binom{3}{2} \times 1^4 = 3 \times 1 = 3$.
   • Escolher 3 sargentos para não receber: $\binom{3}{3}$ maneiras. As 4 condecorações são distribuídas para 0 sargentos: $0^4 = 0$ maneiras. Total: $\binom{3}{3} \times 0^4 = 1 \times 0 = 0$.
3. Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão: $81 - 48 + 3 - 0 = 36$.

Método 2: Abordagem Direta
Como cada um dos 3 sargentos deve receber pelo menos uma das 4 condecorações distintas, a única forma de distribuir as condecorações é que um sargento receba 2 condecorações e os outros dois sargentos recebam 1 condecoração cada (padrão de distribuição 2, 1, 1).

1. Escolher qual sargento receberá 2 condecorações: Há $\binom{3}{1} = 3$ maneiras.
2. Escolher quais 2 condecorações esse sargento receberá: Há $\binom{4}{2} = 6$ maneiras.
3. Distribuir as 2 condecorações restantes aos 2 sargentos restantes: A primeira condecoração restante pode ser dada a um dos 2 sargentos (2 maneiras), e a última condecoração restante deve ser dada ao sargento final (1 maneira). Total: $2 \times 1 = 2$ maneiras.
   Multiplicando as possibilidades: $3 \times 6 \times 2 = 36$.
   (D) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. O erro aqui é tentar distribuir uma condecoração para cada sargento primeiro e depois distribuir a condecoração restante. Se fizermos isso:
4. Escolher 3 condecorações para dar uma a cada sargento: $\binom{4}{3}$ maneiras.
5. Distribuir essas 3 condecorações aos 3 sargentos: $3!$maneiras. Isso dá$\binom{4}{3} \times 3! = 4 \times 6 = 24$ maneiras.
6. A condecoração restante pode ser dada a qualquer um dos 3 sargentos: $24 \times 3 = 72$.
   O problema com este método é que ele superestima o número de maneiras. Ele trata como diferentes situações que, na verdade, são a mesma. Por exemplo, se os sargentos são S1, S2, S3 e as condecorações são C1, C2, C3, C4:

• Cenário 1: S1 recebe C1, S2 recebe C2, S3 recebe C3. A condecoração C4 vai para S1. Resultado: (S1: C1, C4), (S2: C2), (S3: C3).
• Cenário 2: S1 recebe C4, S2 recebe C2, S3 recebe C3. A condecoração C1 vai para S1. Resultado: (S1: C4, C1), (S2: C2), (S3: C3).
  Ambos os cenários resultam na mesma distribuição final, mas são contados como distintos por este método.