Questão de Matemática · FGV PMESP Sargento 2024 (nº 35)

O conceito-chave aqui é otimização de pontuação em um torneio, onde precisamos encontrar o máximo de pontos que dois times podem ter, mantendo-se empatados na liderança. Isso implica que eles devem ter o melhor desempenho possível contra os times mais fracos e dividir os pontos entre si de forma a maximizar suas pontuações individuais.

• A) Correta: Para maximizar a pontuação de dois times empatados (digamos, Time A e Time B), eles devem vencer todos os seus jogos contra os outros três times (Time C, D e E). Cada um joga 2 vezes contra cada um dos 3 times, totalizando 6 jogos. Se vencerem todos esses 6 jogos, cada um acumula $6 \times 3 = 18$ pontos. Restam os 2 jogos entre o Time A e o Time B. Para que fiquem empatados com a maior pontuação possível, cada um deve vencer um jogo contra o outro. Assim, cada um ganha 3 pontos pela vitória e 0 pela derrota no confronto direto. A pontuação total para cada um seria $18 + 3 = 21$ pontos.
• B) Incorreta: Para que um time faça 22 pontos, ele precisaria de 18 pontos contra os outros 3 times e 4 pontos nos 2 jogos contra o outro time líder. A única forma de fazer 4 pontos em 2 jogos é uma vitória (3 pts) e um empate (1 pt). Se o Time A faz 22 pontos (18 + 3 + 1), o Time B faria 19 pontos (18 + 0 + 1), não estando empatados.
• C) Incorreta: Para que um time faça 23 pontos, ele precisaria de 18 pontos contra os outros 3 times e 5 pontos nos 2 jogos contra o outro time líder. Não é possível fazer 5 pontos em 2 jogos, pois as combinações possíveis de pontos em dois jogos são: 6 (duas vitórias), 4 (uma vitória e um empate), 3 (uma vitória e uma derrota), 2 (dois empates) ou 0 (duas derrotas).
• D) Incorreta: Esta é a pontuação máxima que um único time pode alcançar se vencer todos os seus 8 jogos ($8 \times 3 = 24$ pontos). No entanto, se um time faz 24 pontos, ele necessariamente venceu os dois jogos contra o outro time "líder". Isso faria com que o outro time tivesse 18 pontos (6 vitórias contra os demais e 2 derrotas contra o time de 24 pontos), não havendo empate na liderança. Esta é a armadilha da banca, pois 24 é o máximo absoluto, mas não permite a condição de empate entre os dois primeiros colocados.