Questão de Matemática · FGV PMESP Sargento 2024 (nº 33)

Periodicidade é a repetição de um evento em intervalos regulares. Para calcular o dia da semana de um evento futuro, usamos a aritmética modular, que é o resto da divisão do número de dias pelo 7 dias da semana.

Vamos representar os dias da semana de 0 a 6:
Domingo = 0
Segunda-feira = 1 (dia em que a sorveteria está fechada)
Terça-feira = 2
Quarta-feira = 3
Quinta-feira = 4
Sexta-feira = 5
Sábado = 6

Bruna troca um cupom a cada 9 dias. Como há 7 dias na semana, a cada troca o dia da semana avança $9 \pmod 7 = 2$ dias.
Ela faz 6 trocas. Se o primeiro dia de troca for $D_0$, os dias das trocas seguintes serão:
$D_0$
$D_1 = (D_0 + 2) \pmod 7$
$D_2 = (D_0 + 2 \times 2) \pmod 7 = (D_0 + 4) \pmod 7$
$D_3 = (D_0 + 3 \times 2) \pmod 7 = (D_0 + 6) \pmod 7$
$D_4 = (D_0 + 4 \times 2) \pmod 7 = (D_0 + 8) \pmod 7 = (D_0 + 1) \pmod 7$ (pois $8 \pmod 7 = 1$)
$D_5 = (D_0 + 5 \times 2) \pmod 7 = (D_0 + 10) \pmod 7 = (D_0 + 3) \pmod 7$ (pois $10 \pmod 7 = 3$)

Nenhum desses dias ($D_0, D_1, D_2, D_3, D_4, D_5$) pode ser Segunda-feira (1).

(A) Incorreta: Se Bruna começasse na Terça-feira (2), a 4ª troca ($D_3$) cairia em $(2 + 6) \pmod 7 = 8 \pmod 7 = 1$, que é uma segunda-feira. A armadilha aqui é não testar todas as 6 trocas; a 4ª troca já inviabiliza essa opção.
(B) Correta: Se Bruna começar na Quarta-feira (3), os dias das trocas serão:
1ª troca: Quarta-feira (3)
2ª troca: $(3 + 2) \pmod 7 = 5$ (Sexta-feira)
3ª troca: $(3 + 4) \pmod 7 = 0$ (Domingo)
4ª troca: $(3 + 6) \pmod 7 = 2$ (Terça-feira)
5ª troca: $(3 + 1) \pmod 7 = 4$ (Quinta-feira)
6ª troca: $(3 + 3) \pmod 7 = 6$ (Sábado)
Nenhum desses dias é Segunda-feira (1), portanto, Quarta-feira é o dia correto para começar.
(C) Incorreta: Se Bruna começasse na Quinta-feira (4), a 3ª troca ($D_2$) cairia em $(4 + 4) \pmod 7 = 8 \pmod 7 = 1$, que é uma segunda-feira.
(D) Incorreta: Se Bruna começasse no Domingo (0), a 5ª troca ($D_4$) cairia em $(0 + 1) \pmod 7 = 1$, que é uma segunda-feira.