Questão de Matemática · FGV PMESP Sargento 2024 (nº 29)

O perímetro de uma figura é a soma do comprimento de todos os seus lados externos. A área é a medida da superfície que a figura ocupa.

• Quadrado original: Lado $L = 13$ cm.

  • Área original: $A_{original} = L^2 = 13^2 = 169$ cm$^2$.
  • Perímetro original: $P_{original} = 4L = 4 \times 13 = 52$ cm.

• Quadrados retirados: Dois quadrados iguais de lado $x$.

  • Área total retirada: $A_{retirada} = 2x^2$.

• Polígono resultante:

  • Área do polígono: $A_{poligono} = A_{original} - A_{retirada} = 169 - 2x^2$.
  • Perímetro do polígono: $P_{poligono} = 68$ cm.

A armadilha da banca:
A interpretação comum de "remover um quadrado de um canto" é que o perímetro da figura não muda (os dois segmentos de lado $x$ removidos são substituídos por dois segmentos de lado $x$ internos). Se fosse esse o caso, o perímetro seria $52undefined68$ cm, o que é maior. Isso significa que a forma como os quadrados foram retirados aumentou o perímetro.

A maneira mais comum de "retirar um quadrado" que aumenta o perímetro é se o corte cria uma "reentrância" ou "entalhe" na figura. Para cada quadrado de lado $x$ retirado dessa forma, o perímetro aumenta em $2xundefined2x + 2x = 4x$.

Cálculo do lado $x$ dos quadrados retirados:
$P_{poligono} = P_{original} + 4x$
$68 = 52 + 4x$
$68 - 52 = 4x$
$16 = 4x$
$x = 4$ cm.

Cálculo da área do polígono:
$A_{poligono} = 169 - 2x^2$
$A_{poligono} = 169 - 2 \times (4^2)$
$A_{poligono} = 169 - 2 \times 16$
$A_{poligono} = 169 - 32$
$A_{poligono} = 137$ cm$^2$.

• (A) Correta: A área do polígono é 137 cm². A "pegadinha" está na interpretação do perímetro: para que o perímetro aumente de 52cm para 68cm, cada quadrado retirado deve adicionar $2xundefined4x$ para os dois quadrados. Isso nos dá $x=4$ cm, e a área $169 - 2(4^2) = 137$.
• (B) Incorreta: Não há cálculo direto que leve a 145 cm².
• (C) Incorreta: Não há cálculo direto que leve a 151 cm².
• (D) Incorreta: 153 cm² seria a área se apenas um quadrado de lado 4 cm fosse retirado ($169 - 4^2 = 169 - 16 = 153$), mas o problema diz que foram retirados "dois quadrados".