Questão de Matemática · FGV PMESP Sargento 2024 (nº 26)

Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que precisam ser resolvidas juntas para encontrar valores que satisfaçam todas elas ao mesmo tempo.

Para resolver o problema, primeiro definimos os dois números inteiros como $x$ e $y$.
Traduzimos as informações dadas em equações:

1. "a soma deles é 78": x + y = 78\
2. "o dobro de um deles excede o triplo do outro em 1 unidade": Podemos expressar isso como $2x = 3y + 1, ou seja, \2x - 3y = 1. (Mesmo que a ordem fosse invertida, \2y = 3x + 1$, os números encontrados seriam os mesmos, apenas trocando$x$por$y$, e a diferença final seria a mesma).

Agora, temos um sistema de equações lineares:
I) $x + y = 78$
II) $2x - 3y = 1$

Podemos resolver este sistema usando o método da substituição ou da adição. Usaremos o método da substituição:
Da Equação I, isolamos $x$: $x = 78 - y$.
Substituímos esta expressão para $x$ na Equação II:
$2(78 - y) - 3y = 1 \156 - 2y - 3y = 1 \156 - 5y = 1 \156 - 1 = 5y$
$155 = 5y$
$y = \frac{155}{5}$
$y = 31$

Agora, substituímos o valor de $y$ de volta na Equação I para encontrar $x$:
$x + 31 = 78$
$x = 78 - 31$
$x = 47$

Os dois números inteiros são 47 e 31.
Verificamos as condições:

• Soma: $47 + 31 = 78$ (Correto)
• Dobro de um excede o triplo do outro em 1: $2(47) = 94 e \3(31) = 93. De fato, \94 = 93 + 1$ (Correto).

A questão pede a diferença (o maior menos o menor) entre esses dois números:
Diferença = $47 - 31 = 16$.

(A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida por um erro de cálculo na resolução do sistema ou na subtração final.
(B) Correta: A diferença entre os dois números encontrados, 47 e 31, é $47 - 31 = 16$. A resolução do sistema de equações formado pelas condições dadas leva diretamente a esses valores e, consequentemente, a essa diferença.
(C) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro de cálculo durante a resolução do sistema ou na etapa final de subtração.
(D) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro de cálculo durante a resolução do sistema ou na etapa final de subtração.