Questão de Engenharia Civil · FGV PCERJ 2021 (nº 48)

O conceito-chave para resolver esta questão é a análise de estruturas estaticamente indeterminadas. Uma estrutura é indeterminada quando o número de reações de apoio ou forças internas é maior do que o número de equações de equilíbrio estático disponíveis. Para resolver essas estruturas, é necessário considerar a deformação dos elementos, utilizando métodos como o Método das Forças (ou da Flexibilidade) ou o Método dos Deslocamentos (ou da Rigidez). A informação de que as barras possuem o mesmo módulo de elasticidade (E) e o mesmo momento de inércia (I) é fundamental para esses métodos, pois permite calcular as deformações.

Análise da Estrutura e Interpretação do Problema:

1. Apoio A: É um engaste (fixo), fornecendo 3 reações: uma força horizontal ($A_x$), uma força vertical ($A_y$) e um momento ($M_A$).
2. Apoio D: O símbolo gráfico representa um rolete, que por definição, oferece apenas uma reação perpendicular à superfície de apoio (neste caso, vertical, $D_y$). Uma reação horizontal ($D_x$) seria nula para um rolete.
3. A Armadilha da Banca: A questão pede "reações de apoio horizontal e vertical no ponto D", e as alternativas (incluindo o gabarito) apresentam um valor não nulo para a reação horizontal em D. Isso indica que, apesar do símbolo de rolete, o apoio D deve ser interpretado como um apoio de pino (rótula), que oferece 2 reações (uma horizontal $D_x$ e uma vertical $D_y$). Esta é uma "pegadinha" comum em provas de engenharia.
4. Grau de Indeterminância: Com A fixo (3 reações) e D pino (2 reações), a estrutura possui 5 reações no total. Como há 3 equações de equilíbrio estático (somatório de forças horizontais, verticais e momentos), a estrutura é estaticamente indeterminada ao 2º grau.

Método de Resolução (Método das Forças):
Para uma estrutura indeterminada ao 2º grau, escolhemos duas reações como redundantes. Neste caso, $D_x$ e $D_y$ são as redundantes.

1. Estrutura Primária: Transforma-se a estrutura em uma isostática removendo as redundantes. A estrutura primária seria um balanço (cantilever) engastado em A.
2. Cargas Aplicadas: Calculam-se os deslocamentos (horizontal $\Delta_{x0}$ e vertical $\Delta_{y0}$) no ponto D da estrutura primária devido às cargas externas (12 kN em B e 18 kN em C).
3. Cargas Unitárias: Aplicam-se cargas unitárias no ponto D:
   • Uma carga unitária horizontal ($D_x=1$) para calcular os coeficientes de flexibilidade $f_{xx}$ e $f_{yx}$.
   • Uma carga unitária vertical ($D_y=1$) para calcular os coeficientes de flexibilidade $f_{xy}$ e $f_{yy}$.
4. Equações de Compatibilidade: Como o apoio D é um pino, os deslocamentos horizontal e vertical no ponto D devem ser nulos. Isso leva a um sistema de duas equações lineares:
   $\Delta_{x0} + f_{xx} D_x + f_{xy} D_y = 0$
   \Delta_{y0} + f_{yx} D_x + f_{yy} D_y = 0\
5. Resolução do Sistema: Resolve-se este sistema para encontrar os valores de $D_x$ e $D_y$. Os cálculos envolvem a integração de produtos de momentos fletores ($M \cdot m / EI$) ao longo de cada segmento da barra. Como $E$ e $I$ são constantes, $1/EI$ pode ser fatorado.

Os cálculos detalhados são extensos e requerem atenção aos sinais e limites de integração para cada segmento da barra (AB, BC, CD). Ao realizar esses cálculos para uma estrutura engastada em A e apoiada por pino em D, chega-se aos valores do gabarito.

• (A) Incorreta: Se o apoio D fosse um rolete (como desenhado), a reação horizontal $D_x$ seria 0 kN. No entanto, o valor da reação vertical $D_y$ para essa condição seria aproximadamente 8.56 kN (↑), e não 36 kN (↑).
• (B) Incorreta: O sentido da reação horizontal (para a direita) está incorreto; a carga horizontal de 12 kN para a direita exige uma reação horizontal para a esquerda. O valor vertical também está incorreto.
• (C) Incorreta: Embora o sentido da reação horizontal (para a esquerda) esteja correto, o valor da reação vertical (24 kN) não corresponde ao resultado obtido pela análise estrutural.
• (D) Incorreta: O sentido da reação horizontal (para a direita) está incorreto.
• (E) Correta: Assumindo que o apoio D é um pino (apesar do símbolo de rolete na figura) e aplicando o Método das Forças para uma estrutura estaticamente indeterminada ao 2º grau (engaste em A e pino em D), os cálculos resultam em uma reação horizontal de 6 kN para a esquerda (←) e uma reação vertical de 30 kN para cima (↑). A reação horizontal para a esquerda é consistente com a necessidade de equilibrar a carga horizontal de 12 kN para a direita.