Questão de Informática · FGV PCERJ 2021 (nº 91)

A força de uma política de senhas é medida pela quantidade de senhas únicas que podem ser geradas sob suas regras. Quanto mais senhas possíveis, mais difícil é para um atacante adivinhar uma senha, tornando a política mais forte. Para calcular isso, usamos a combinatória, considerando o tamanho do alfabeto disponível e as restrições de "pelo menos um".

Vamos definir os conjuntos de caracteres:

• Letras minúsculas (L_min): 26 caracteres (a-z)
• Letras maiúsculas (L_mai): 26 caracteres (A-Z)
• Dígitos numéricos (D): 10 caracteres (0-9)
• Caracteres especiais (S): 9 caracteres (!@#$%&*=+)
  O comprimento da senha é 4 caracteres.
  O conjunto total de caracteres disponíveis para qualquer posição, sem restrições, é $26 + 26 + 10 + 9 = 71$. O número total de senhas possíveis sem nenhuma restrição seria$71^4 = 25.411.681$.

Para calcular o número de senhas que atendem à condição "pelo menos um X E pelo menos um Y", usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão:
$N_{válidas} = (\text{Total de senhas sem restrição}) - (\text{Senhas sem X}) - (\text{Senhas sem Y}) + (\text{Senhas sem X E sem Y})$

I. pelo menos uma letra maiúscula, pelo menos um caractere especial;

• Senhas sem L_mai: Usam apenas L_min, D, S. Total de caracteres: $26+10+9 = 45$. Número de senhas:$45^4 = 4.100.625$.
• Senhas sem S: Usam apenas L_min, L_mai, D. Total de caracteres: $26+26+10 = 62$. Número de senhas:$62^4 = 14.776.336$.
• Senhas sem L_mai E sem S: Usam apenas L_min, D. Total de caracteres: $26+10 = 36$. Número de senhas:$36^4 = 1.679.616$.$N_I = 71^4 - 45^4 - 62^4 + 36^4 = 25.411.681 - 4.100.625 - 14.776.336 + 1.679.616 = 8.214.336$.

II. pelo menos uma letra minúscula, pelo menos um dígito numérico;

• Senhas sem L_min: Usam apenas L_mai, D, S. Total de caracteres: $26+10+9 = 45$. Número de senhas:$45^4 = 4.100.625$.
• Senhas sem D: Usam apenas L_min, L_mai, S. Total de caracteres: $26+26+9 = 61$. Número de senhas:$61^4 = 13.845.841$.
• Senhas sem L_min E sem D: Usam apenas L_mai, S. Total de caracteres: $26+9 = 35$. Número de senhas:$35^4 = 1.500.625$.$N_{II} = 71^4 - 45^4 - 61^4 + 35^4 = 25.411.681 - 4.100.625 - 13.845.841 + 1.500.625 = 8.965.840$.

III. pelo menos uma letra maiúscula, pelo menos uma letra minúscula.

• Senhas sem L_mai: Usam apenas L_min, D, S. Total de caracteres: $26+10+9 = 45$. Número de senhas:$45^4 = 4.100.625$.
• Senhas sem L_min: Usam apenas L_mai, D, S. Total de caracteres: $26+10+9 = 45$. Número de senhas:$45^4 = 4.100.625$.
• Senhas sem L_mai E sem L_min: Usam apenas D, S. Total de caracteres: $10+9 = 19$. Número de senhas:$19^4 = 130.321$.$N_{III} = 71^4 - 45^4 - 45^4 + 19^4 = 25.411.681 - 4.100.625 - 4.100.625 + 130.321 = 17.340.752$.

Comparando o número de senhas possíveis:

• Política III: 17.340.752
• Política II: 8.965.840
• Política I: 8.214.336

A ordem da mais forte para a mais fraca é III, II, I.

(A) Incorreta: A política I é a mais fraca, não a mais forte.
(B) Incorreta: A ordem está incorreta, pois a política III é a mais forte.
(C) Incorreta: A ordem está incorreta, pois a política III é a mais forte.
(D) Incorreta: A ordem está incorreta, pois a política III é a mais forte.
(E) Correta: A ordem correta da política mais forte para a mais fraca é III, II, I. A política III permite o maior número de combinações (17.340.752), pois exige pelo menos uma letra maiúscula e uma minúscula, que são conjuntos grandes de caracteres. Isso significa que é muito difícil criar uma senha de 4 caracteres que não contenha pelo menos uma letra maiúscula e uma minúscula (apenas 19 caracteres restantes para formar essas senhas "inválidas"). A política II (8.965.840 combinações) e a política I (8.214.336 combinações) são mais fracas, respectivamente. A armadilha da banca aqui é que muitos podem pensar que exigir "caracteres especiais" (Política I) torna a senha automaticamente mais forte, mas o que realmente importa é o tamanho dos conjuntos de caracteres envolvidos nas condições "pelo menos um" e como eles reduzem o número de senhas que falham as regras.