Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV PCAM 2021 (nº 15)

A probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis (resultados que atendem à condição desejada) e o número total de casos possíveis (todos os resultados que podem ocorrer), assumindo que cada resultado tem a mesma chance de acontecer.

• Número total de casos possíveis: Um dado tem 6 faces. Se ele é lançado 3 vezes, cada lançamento é independente. Assim, o número total de sequências de resultados possíveis é $6 \times 6 \times 6 = 216$.

• Número de casos favoráveis (soma igual a 16): Precisamos encontrar todas as sequências de 3 números $(d_1, d_2, d_3)$ onde cada $d_i$ é um número de 1 a 6, e a soma $d_1 + d_2 + d_3 = 16$. Vamos listar sistematicamente:

  • Se o primeiro dado for 6:
    • $6 + d_2 + d_3 = 16 \implies d_2 + d_3 = 10$. As combinações possíveis para $(d_2, d_3)$ são $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$. Isso gera as sequências: $(6,4,6)$, $(6,5,5)$, $(6,6,4)$. (3 casos)
  • Se o primeiro dado for 5:
    • $5 + d_2 + d_3 = 16 \implies d_2 + d_3 = 11$. As combinações possíveis para $(d_2, d_3)$ são $(5,6)$, $(6,5)$. Isso gera as sequências: $(5,5,6)$, $(5,6,5)$. (2 casos)
  • Se o primeiro dado for 4:
    • $4 + d_2 + d_3 = 16 \implies d_2 + d_3 = 12$. A única combinação possível para $(d_2, d_3)$ é $(6,6)$. Isso gera a sequência: $(4,6,6)$. (1 caso)
  • Se o primeiro dado for 3 ou menos, a soma máxima possível ($3+6+6=15) não atinge 16. Somando os casos favoráveis, temos \3 + 2 + 1 = 6$ sequências.

• Cálculo da probabilidade:
  Probabilidade = (Número de casos favoráveis) / (Número total de casos possíveis) = $6 / 216$. Simplificando a fração, dividimos o numerador e o denominador por 6:$6 \div 6 = 1$e$216 \div 6 = 36$. Portanto, a probabilidade é$\frac{1}{36}$.

(A) Incorreta: A probabilidade de $\frac{1}{16}$ não corresponde aos cálculos de casos favoráveis e totais.
(B) Incorreta: A probabilidade de $\frac{1}{18}$ não corresponde aos cálculos.
(C) Correta: A probabilidade é $\frac{6}{216}$, que simplifica para $\frac{1}{36}$, conforme os cálculos detalhados acima.
(D) Incorreta: A probabilidade de $\frac{1}{54}$ não corresponde aos cálculos.
(E) Incorreta: Esta é uma pegadinha comum. A probabilidade de $\frac{1}{108}$ surgiria se considerássemos apenas as combinações de números que somam 16 ({6,6,4} e {6,5,5}) e não as permutações dessas combinações como resultados distintos. Por exemplo, (6,6,4) é um resultado diferente de (6,4,6) quando os dados são lançados em sequência, mas ambos seriam contados como a mesma combinação {6,6,4}. Como estamos tratando de lançamentos sequenciais (1º, 2º e 3º dado), a ordem importa, e cada sequência é um caso distinto.