Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV PCAM 2021 (nº 14)

Para resolver uma equação com frações, o objetivo é encontrar o valor da variável $x$ que torna a igualdade verdadeira. Isso geralmente envolve simplificar as frações, encontrar um denominador comum e isolar a variável passo a passo.

(A) Incorreta: O valor de $x$ encontrado não é maior que 10.
(B) Incorreta: O valor de $x$ encontrado não está entre 0 e 10.
(C) Incorreta: O valor de $x$ encontrado não está entre -10 e 0.
(D) Incorreta: O valor de $x$ encontrado não está entre -20 e -10. (Armadilha da banca) Esta alternativa seria a correta se houvesse um erro de cálculo ou de sinal na etapa final da resolução. Por exemplo, se na etapa $2 - \frac{x}{4} = 15$, o aluno subtraísse 15 de 2 em vez de 2 de 15, obtendo $2 - 15 = -13$, então$-\frac{x}{4} = -13$, o que levaria a$x = 52$. Se, por outro lado, o aluno chegasse a$-\frac{x}{4} = 13$mas esquecesse de multiplicar por -1, obtendo$x = 52$, ele poderia escolher a alternativa A. Se, por outro lado, o aluno chegasse a$2 - \frac{x}{4} = -15$(erro de sinal na inversão da fração, por exemplo), então$-\frac{x}{4} = -17$, e$x = 68$. Erros de sinal são muito comuns e podem levar a resultados que se encaixam em outras alternativas, tornando-as distratores.
(E) Correta: Vamos resolver a equação passo a passo:

1. Começamos isolando o termo com a fração mais complexa:
   $\frac{1}{3} + \frac{1}{2 - \frac{x}{4}} = \frac{2}{5}$
   \frac{1}{2 - \frac{x}{4}} = \frac{2}{5} - \frac{1}{3}\
2. Calculamos a subtração das frações no lado direito, encontrando um denominador comum (15):
   $\frac{1}{2 - \frac{x}{4}} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} - \frac{1 \times 5}{3 \times 5}$
   $\frac{1}{2 - \frac{x}{4}} = \frac{6}{15} - \frac{5}{15}$
   \frac{1}{2 - \frac{x}{4}} = \frac{1}{15}\
3. Como os numeradores de ambos os lados são iguais a 1, os denominadores também devem ser iguais:
   2 - \frac{x}{4} = 15\
4. Agora, isolamos o termo com $x$:
   $-\frac{x}{4} = 15 - 2$
   -\frac{x}{4} = 13\
5. Multiplicamos ambos os lados por 4:
   $-x = 13 \times 4$
   -x = 52\
6. Multiplicamos por -1 para encontrar $x$:
   $x = -52$
   O valor $x = -52$ satisfaz a condição $x < -20$, pois $-52$ é menor que $-20$.