Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FGV MPSP 2023 (nº 40)

Para resolver sequências numéricas, precisamos identificar o padrão que as rege, ou seja, a regra que determina como um número se relaciona com o próximo. No caso dos números pentagonais, esse padrão está ligado à adição de números que aumentam progressivamente.

O conceito-chave é encontrar a diferença entre termos consecutivos e analisar como essa diferença evolui.

Vamos analisar a sequência dada: (1, 5, 12, 22, ...)

• A diferença entre o 2º e o 1º termo é $5 - 1 = 4$.
• A diferença entre o 3º e o 2º termo é $12 - 5 = 7$.
• A diferença entre o 4º e o 3º termo é $22 - 12 = 10$.

Observamos que as diferenças (4, 7, 10) formam uma nova sequência onde a diferença entre termos consecutivos é sempre 3 ($7 - 4 = 3 e \10 - 7 = 3$). Isso significa que a diferença entre os termos da sequência original aumenta de 3 em 3.

Para encontrar os próximos termos:

• A próxima diferença será $10 + 3 = 13. O 5º termo será \22 + 13 = 35$.
• A próxima diferença será $13 + 3 = 16. O 6º termo será \35 + 16 = 51$.
• A próxima diferença será $16 + 3 = 19. O 7º termo será \51 + 19 = 70$.

A fórmula geral para o n-ésimo número pentagonal é $P_n = \frac{n(3n-1)}{2}$.

Vamos verificar:

• $P_1 = \frac{1(3 \cdot 1 - 1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$
• $P_2 = \frac{2(3 \cdot 2 - 1)}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2} = 5$
• $P_3 = \frac{3(3 \cdot 3 - 1)}{2} = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$
• $P_4 = \frac{4(3 \cdot 4 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 11}{2} = 22$

Agora, para o 7º termo ($n=7$):
$P_7 = \frac{7(3 \cdot 7 - 1)}{2} = \frac{7(21 - 1)}{2} = \frac{7 \cdot 20}{2} = \frac{140}{2} = 70$.

• (A) Incorreta: 46 é um número que poderia ser obtido se o padrão de adição fosse linear e não quadrático, ou se houvesse um erro no cálculo das diferenças.
• (B) Incorreta: 51 é o 6º termo da sequência, não o 7º. A armadilha aqui é parar o cálculo um termo antes do solicitado.
• (C) Incorreta: 59 não segue o padrão de adição das diferenças progressivas.
• (D) Incorreta: 63 não é o resultado do padrão estabelecido para os números pentagonais.
• (E) Correta: 70 é o resultado do cálculo do 7º termo da sequência de números pentagonais, seja pela progressão das diferenças ou pela aplicação da fórmula geral $P_n = \frac{n(3n-1)}{2}$.