Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPSP 2023 (nº 15)

Para resolver este tipo de problema, usamos um sistema de equações, que é um conjunto de duas ou mais equações com duas ou mais variáveis. A chave aqui é uma identidade algébrica muito útil: a diferença de quadrados, que diz que $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

• (A) Correta: Seja $x$ e $y$ os dois números inteiros positivos.
  1. A diferença entre eles é 3: $x - y = 3$.
  2. A diferença entre seus quadrados é 39: $x^2 - y^2 = 39$.
     Aplicando a identidade da diferença de quadrados à segunda equação, temos:
     $(x - y)(x + y) = 39$.
     Agora, substituímos o valor de $(x - y)$ da primeira equação:
     $(3)(x + y) = 39$.
     Para encontrar a soma $(x + y)$, basta dividir 39 por 3:
     $x + y = \frac{39}{3}$
     $x + y = 13$.
     A armadilha da banca aqui é não perceber a aplicação direta da identidade da diferença de quadrados. Muitos alunos tentariam resolver o sistema isolando uma variável (por exemplo, $x = y + 3$) e substituindo na segunda equação, o que levaria a uma equação quadrática ($(y+3)^2 - y^2 = 39 \Rightarrow y^2 + 6y + 9 - y^2 = 39 \Rightarrow 6y + 9 = 39 \Rightarrow 6y = 30 \Rightarrow y = 5$), e então encontrariam $x=8$. Só depois somariam $x+y=13$. Embora correto, este método é mais longo e propenso a erros de cálculo do que usar a identidade, que fornece a soma diretamente.
• (B) Incorreta: Se a soma fosse 15 e a diferença 3, os números seriam 9 e 6. A diferença dos quadrados seria $9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$, que não é 39.
• (C) Incorreta: Se a soma fosse 17 e a diferença 3, os números seriam 10 e 7. A diferença dos quadrados seria $10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51$, que não é 39.
• (D) Incorreta: Se a soma fosse 19 e a diferença 3, os números seriam 11 e 8. A diferença dos quadrados seria $11^2 - 8^2 = 121 - 64 = 57$, que não é 39.
• (E) Incorreta: Se a soma fosse 21 e a diferença 3, os números seriam 12 e 9. A diferença dos quadrados seria $12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63$, que não é 39.