Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV MPGO Servidores 2022 (nº 19)

Permutações são as diferentes maneiras de organizar um conjunto de itens em uma ordem específica. Quando há uma restrição (uma condição que deve ser atendida), podemos calcular o total de arranjos possíveis e subtrair aqueles que violam a restrição, ou calcular diretamente os arranjos que satisfazem a restrição.

• (A) Incorreta: Não corresponde a nenhuma lógica de cálculo válida para o problema.
• (B) Incorreta: Não corresponde a nenhuma lógica de cálculo válida para o problema.
• (C) Incorreta: Não corresponde a nenhuma lógica de cálculo válida para o problema.
• (D) Correta: Temos 5 pessoas (Alberto + 4 amigos) e 5 lugares distintos. A restrição é que Alberto não pode sentar na cabeceira.
  • Método 1: Total - Restrição Indesejada.
    O número total de maneiras de sentar 5 pessoas em 5 lugares, sem nenhuma restrição, é $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
    Agora, vamos calcular o número de maneiras em que Alberto está na cabeceira (a restrição indesejada). Se Alberto senta na cabeceira (1 opção de lugar para ele), as 4 pessoas restantes podem ser arranjadas nos 4 lugares restantes de $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ maneiras.
    Portanto, o número de maneiras em que Alberto não está na cabeceira é o total menos as maneiras em que ele está: $120 - 24 = 96$.
  • Método 2: Cálculo Direto.
    Primeiro, posicionamos Alberto. Como ele não pode sentar na cabeceira, ele tem 4 opções de lugares (os dois de um lado e os dois do outro).
    Uma vez que Alberto escolhe seu lugar, sobram 4 pessoas (os 4 amigos) e 4 lugares restantes (incluindo a cabeceira). As 4 pessoas restantes podem ser arranjadas nos 4 lugares restantes de $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ maneiras.
    Multiplicando as opções de Alberto pelas opções dos amigos: $4 \text{ (opções para Alberto)} \times 24 \text{ (opções para os amigos)} = 96$.
• (E) Incorreta: Este valor ($5! = 120$) representa o número total de maneiras de dispor as 5 pessoas nos 5 lugares sem considerar a restrição de Alberto. É uma pegadinha que ignora a condição imposta pelo problema.