Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV MPGO Servidores 2022 (nº 18)

O conceito-chave para resolver problemas de idades é traduzir as informações do texto em equações matemáticas, representando as idades desconhecidas com variáveis. Lembre-se que, com o passar do tempo, todas as pessoas envelhecem na mesma quantidade de anos.

Vamos definir as variáveis:

• $P$: Idade do pai hoje
• $F_1$: Idade do filho mais velho hoje
• $F_2$: Idade do filho mais novo hoje

Com base nas informações do problema:

1. "Alberto tem dois filhos cujas idades têm 1 ano de diferença."

   • Podemos escrever $F_1 = F_2 + 1$.

2. "Hoje, a idade do pai é o triplo da soma das idades dos filhos"

   • $P = 3 \times (F_1 + F_2)$
   • Substituindo $F_1 = F_2 + 1$: $P = 3 \times ((F_2 + 1) + F_2) \implies P = 3 \times (2F_2 + 1) \implies P = 6F_2 + 3$ (Equação 1)

3. "daqui a 22 anos a idade do pai será igual à soma das idades dos filhos."

   • A idade do pai daqui a 22 anos será $P + 22$.
   • A idade do filho mais velho daqui a 22 anos será $F_1 + 22$.
   • A idade do filho mais novo daqui a 22 anos será $F_2 + 22$.
   • A soma das idades dos filhos daqui a 22 anos será $(F_1 + 22) + (F_2 + 22) = F_1 + F_2 + 44$.
   • Assim, $P + 22 = F_1 + F_2 + 44$.
   • Substituindo $F_1 = F_2 + 1$: $P + 22 = (F_2 + 1) + F_2 + 44 \implies P + 22 = 2F_2 + 45 \implies P = 2F_2 + 23$ (Equação 2)

Agora temos um sistema de duas equações com duas variáveis ($P$ e $F_2$):

1. P = 6F_2 + 3\
2. $P = 2F_2 + 23$

Igualando as expressões para $P$:
$6F_2 + 3 = 2F_2 + 23$
$6F_2 - 2F_2 = 23 - 3$
$4F_2 = 20$
$F_2 = 5$ anos (idade do filho mais novo hoje)

Encontrando $F_1$:
$F_1 = F_2 + 1 = 5 + 1 = 6$ anos (idade do filho mais velho hoje)

Encontrando $P$ (idade do pai hoje):
Usando a Equação 1: $P = 6F_2 + 3 = 6(5) + 3 = 30 + 3 = 33$ anos.
(Verificando com a Equação 2: $P = 2F_2 + 23 = 2(5) + 23 = 10 + 23 = 33$ anos).

A idade de Alberto hoje é 33 anos.

(A) Incorreta: Se o pai tivesse 27 anos, a soma das idades dos filhos seria $27/3 = 9. Os filhos teriam 4 e 5 anos. Daqui a 22 anos, o pai teria \27+22=49 anos. Os filhos teriam \4+22=26 e \5+22=27 anos, somando \26+27=53$anos. Como$49 \neq 53$, esta alternativa está incorreta. **Armadilha da banca:** Esta alternativa é um distrator comum. Ela seria a resposta se, na segunda condição, o aluno calculasse a soma das idades dos filhos no futuro como$F_1+F_2+40$(ou seja, somando 20 anos para cada filho, em vez de 22 anos, ou cometendo um erro de cálculo similar que resultasse em 40 em vez de 44). Nesse caso, teríamos$P+22 = (F_1+F_2)+40$. Com$P=3(F_1+F_2)$, isso levaria a$3(F_1+F_2)+22 = (F_1+F_2)+40 \implies 2(F_1+F_2)=18 \implies F_1+F_2=9$. Assim,$P=3 \times 9 = 27$.

(B) Correta: Alberto tem 33 anos hoje. Esta é a idade que satisfaz todas as condições do problema, conforme demonstrado no cálculo acima. A idade do pai (33) é o triplo da soma das idades dos filhos (5+6=11, $3 \times 11 = 33$). Daqui a 22 anos, o pai terá $33+22=55 anos. Os filhos terão \5+22=27 e \6+22=28 anos, somando \27+28=55$ anos. A condição é satisfeita.

(C) Incorreta: Se o pai tivesse 36 anos, a soma das idades dos filhos seria $36/3 = 12. Os filhos teriam 5,5 e 6,5 anos. Daqui a 22 anos, o pai teria \36+22=58 anos. Os filhos teriam \5,5+22=27,5 e \6,5+22=28,5 anos, somando \27,5+28,5=56$anos. Como$58 \neq 56$, esta alternativa está incorreta.

(D) Incorreta: Se o pai tivesse 39 anos, a soma das idades dos filhos seria $39/3 = 13. Os filhos teriam 6 e 7 anos. Daqui a 22 anos, o pai teria \39+22=61 anos. Os filhos teriam \6+22=28 e \7+22=29 anos, somando \28+29=57$anos. Como$61 \neq 57$, esta alternativa está incorreta.

(E) Incorreta: Se o pai tivesse 45 anos, a soma das idades dos filhos seria $45/3 = 15. Os filhos teriam 7 e 8 anos. Daqui a 22 anos, o pai teria \45+22=67 anos. Os filhos teriam \7+22=29 e \8+22=30 anos, somando \29+30=59$anos. Como$67 \neq 59$, esta alternativa está incorreta.