Questão de Raciocínio Lógico · FGV FHEMIG 2023 (nº 13)

Problemas de contagem em escadas geralmente exigem que definamos o número total de degraus (N) e a posição inicial de uma pessoa (x) como variáveis. A chave é interpretar corretamente o que significa "contar degraus" em cada movimento, especialmente em relação à "base" da escada, que pode ser considerada um nível "zero" ou o primeiro degrau numerado.

Para resolver este problema, vamos considerar que a base da escada é o "degrau 0" e o topo é o "degrau N". João está no degrau x.

• Descer do degrau x até a base (degrau 0) significa contar x degraus.
• Subir da base (degrau 0) até o último degrau (N) significa contar N degraus.
• Subir do degrau x até o topo (N) significa contar N - x degraus.
• Descer do topo (N) até a base (degrau 0) significa contar N degraus.

Com base nesta interpretação:

Primeira situação: "Se ele descer do degrau em que está até a base e, em seguida, subir até o último degrau, ele contará 23 degraus."

• Descida: x degraus
• Subida: N degraus
• Equação 1: $x + N = 23$

Segunda situação: "Se, ao contrário, ele subir do lugar em que está até o topo e, em seguida, descer até a base, contará 28 degraus."

• Subida: $N - x$ degraus
• Descida: N degraus
• Equação 2: $(N - x) + N = 28 \implies 2N - x = 28$

Agora, temos um sistema de duas equações:

1. x + N = 23\
2. $2N - x = 28$

Podemos somar as duas equações para eliminar x:
$(x + N) + (2N - x) = 23 + 28$
$3N = 51$$N = \frac{51}{3}$$N = 17$

Para encontrar a posição inicial de João (x), substituímos N = 17 na Equação 1:
$x + 17 = 23$
$x = 23 - 17$
$x = 6$
Portanto, a escada tem 17 degraus e João estava no 6º degrau (considerando a base como degrau 0).

• (A) Correta: 17. Este é o número total de degraus da escada, obtido ao interpretar a base como o "degrau 0" e o topo como o "degrau N", resultando no sistema de equações $x + N = 23$ e $2N - x = 28$.
• (B) Incorreta: 18. Esta seria a resposta se a interpretação de "contar degraus" fosse a mais comum, onde a base é o degrau 1 e o topo é o degrau N, implicando que o movimento da base ao topo conta $N-1$ degraus. Esta é a armadilha da banca, pois muitos candidatos usariam essa interpretação padrão.
• (C) Incorreta: 19. Não corresponde ao resultado dos cálculos.
• (D) Incorreta: 20. Não corresponde ao resultado dos cálculos.
• (E) Incorreta: 21. Não corresponde ao resultado dos cálculos.