Questão de Raciocínio Lógico · FGV FHEMIG 2023 (nº 15)

Quando dois polígonos regulares (como pentágonos, quadrados, etc.) são do mesmo tipo, eles são sempre semelhantes. Isso significa que um é uma versão ampliada ou reduzida do outro. Se a razão entre seus lados (ou qualquer medida linear, como o perímetro) é $k$, então a razão entre suas áreas é $k^2$.

Cálculos:

1. Primeiro, encontramos a razão entre as áreas dos pentágonos: $A_{maior} / A_{menor} = 54\text{ cm}^2 / 6\text{ cm}^2 = 9$.
2. Como a razão das áreas é $k^2$, temos $k^2 = 9$. A razão de semelhança linear $k$ (que é a razão entre os lados ou perímetros) é $\sqrt{9} = 3$.
3. Isso significa que a medida do lado do pentágono maior ($L_{maior}$) é 3 vezes a medida do lado do pentágono menor ($L_{menor}$), ou seja, $L_{maior} = 3 \cdot L_{menor}$.
4. O perímetro de um pentágono regular é 5 vezes a medida do seu lado. Então, o perímetro do pentágono menor ($P_{menor}$) é $5 \cdot L_{menor}$.
5. A questão pede a razão entre a medida do lado do pentágono de maior área ($L_{maior}$) e o perímetro do pentágono de menor área ($P_{menor}$).
6. Razão = $L_{maior} / P_{menor} = (3 \cdot L_{menor}) / (5 \cdot L_{menor})$.
7. Simplificando $L_{menor}$, obtemos a razão $3/5$.
8. Convertendo para decimal: $3/5 = 0,6$.

(A) Incorreta: O valor 0,2 seria $1/5undefined3/5, que é igual a 0,6. **(C) Incorreta:** O valor 0,8 seria \4/5$, que não corresponde à razão calculada. **(D) Incorreta:** O valor 3 é a razão de semelhança linear ($k$), ou seja, a razão entre os lados dos pentágonos ($L_{maior}/L_{menor}$) ou entre seus perímetros ($P_{maior}/P_{menor}$). A armadilha aqui é confundir a razão de semelhança com a razão pedida, que envolve o lado de um e o perímetro do outro. **(E) Incorreta:** O valor 9 é a razão entre as áreas dos pentágonos ($A_{maior}/A_{menor}$). A armadilha da banca é que muitos alunos podem esquecer de tirar a raiz quadrada da razão das áreas para obter a razão de semelhança linear, ou confundir diretamente a razão de áreas com a resposta final.