Questão de Raciocínio Lógico · FGV FHEMIG 2023 (nº 14)

A mediana é o valor central de uma sequência de números quando eles estão organizados em ordem crescente. A média aritmética é a soma de todos os números dividida pela quantidade de números.

Vamos chamar os 5 números inteiros positivos de $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ em ordem crescente.

1. Mediana = 8: O número do meio é $x_3 = 8$.
2. Média = 8: $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) / 5 = 8 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 40$.
3. Média dos 4 maiores = 8,50: $(x_2 + x_3 + x_4 + x_5) / 4 = 8,50 \Rightarrow x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 34$.
4. Média dos 4 menores = 7,25: $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) / 4 = 7,25 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 29$.

Usando as equações:

• De (2) e (3): $x_1 + (x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = 40 \Rightarrow x_1 + 34 = 40 \Rightarrow x_1 = 6$.
• De (2) e (4): $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) + x_5 = 40 \Rightarrow 29 + x_5 = 40 \Rightarrow x_5 = 11$.

Agora temos $x_1=6$, $x_3=8$, $x_5=11$.
Substituindo $x_1, x_3, x_5$ na equação (3):
$x_2 + 8 + x_4 + 11 = 34 \Rightarrow x_2 + x_4 + 19 = 34 \Rightarrow x_2 + x_4 = 15$.

Os números devem ser inteiros positivos e estar em ordem crescente: $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$.
Ou seja: $6 \le x_2 \le 8 \le x_4 \le 11$.
Com a condição $x_2 + x_4 = 15$, vamos testar os valores possíveis para $x_2$:

• Se $x_2 = 6$: $6 + x_4 = 15 \Rightarrow x_4 = 9$. Isso satisfaz $8 \le 9 \le 11$.
  A lista seria: $[6, 6, 8, 9, 11]$.
• Se $x_2 = 7$: $7 + x_4 = 15 \Rightarrow x_4 = 8$. Isso satisfaz $8 \le 8 \le 11$.
  A lista seria: $[6, 7, 8, 8, 11]$.
• Se $x_2 = 8$: $8 + x_4 = 15 \Rightarrow x_4 = 7$. Isso não satisfaz $x_4 \ge 8$.

Portanto, as únicas listas possíveis são $[6, 6, 8, 9, 11]$ e $[6, 7, 8, 8, 11]$.

(A) Incorreta: O número 6 pode integrar a lista, pois $x_1$ é 6 e aparece em ambas as listas válidas.
(B) Incorreta: O número 7 pode integrar a lista, como visto na lista válida $[6, 7, 8, 8, 11]$, onde $x_2=7$.
(C) Incorreta: O número 8 pode integrar a lista, pois é a mediana ($x_3=8$) e está presente em ambas as listas válidas.
(D) Incorreta: O número 9 pode integrar a lista, como visto na lista válida $[6, 6, 8, 9, 11]$, onde $x_4=9$.
(E) Correta: O número 10 não pode integrar essa lista. As únicas listas de números inteiros positivos que satisfazem todas as condições são $[6, 6, 8, 9, 11]$ e $[6, 7, 8, 8, 11]$. O número 10 não aparece em nenhuma dessas listas. A armadilha aqui seria não explorar todas as combinações possíveis para os valores intermediários ($x_2$ e $x_4$) ou não verificar se o número da alternativa está presente em pelo menos uma das listas válidas.