Questão de Raciocínio Lógico · FGV FHEMIG 2023 (nº 14)

A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. A mediana é o valor central de uma lista quando os números estão em ordem crescente.

Vamos chamar os 5 números inteiros positivos de $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ em ordem não decrescente ($x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$).

1. Mediana = 8: Como há 5 números, o terceiro número é a mediana. Então, $x_3 = 8$.
2. Média = 8: A soma dos 5 números é $5 \times 8 = 40$.
   $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 40$.
3. Média dos 4 maiores valores = 8,50: Os 4 maiores são $x_2, x_3, x_4, x_5$. A soma deles é $4 \times 8,50 = 34$.
   $x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 34$.
4. Média dos 4 menores valores = 7,25: Os 4 menores são $x_1, x_2, x_3, x_4$. A soma deles é $4 \times 7,25 = 29$.
   $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 29$.

Agora, vamos encontrar os valores dos números:

• Subtraindo a soma dos 4 maiores da soma total: $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) - (x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = 40 - 34 \implies x_1 = 6$.
• Subtraindo a soma dos 4 menores da soma total: $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = 40 - 29 \implies x_5 = 11$.

Já temos $x_1 = 6$, $x_3 = 8$ e $x_5 = 11$.
Substituindo esses valores na soma total: $6 + x_2 + 8 + x_4 + 11 = 40 \implies 25 + x_2 + x_4 = 40 \implies x_2 + x_4 = 15$.

Considerando a ordem dos números: $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$.
Ou seja: $6 \le x_2 \le 8 \le x_4 \le 11$.

Com $x_2 + x_4 = 15$ e as restrições, temos as seguintes possibilidades para $x_2$ e $x_4$:

• Se $x_2 = 6$: $6 + x_4 = 15 \implies x_4 = 9$. (Satisfaz $8 \le 9 \le 11$). Lista: $[6, 6, 8, 9, 11]$.
• Se $x_2 = 7$: $7 + x_4 = 15 \implies x_4 = 8$. (Satisfaz $8 \le 8 \le 11$). Lista: $[6, 7, 8, 8, 11]$.
• Se $x_2 = 8$: $8 + x_4 = 15 \implies x_4 = 7$. (NÃO satisfaz $x_3 \le x_4$, pois $8 \not\le 7$).

Portanto, os números que podem integrar a lista são 6, 7, 8, 9, 11.

(A) Incorreta: O número 6 pode ser $x_1$ ou $x_2$ (ex: $[6, 6, 8, 9, 11]$).
(B) Incorreta: O número 7 pode ser $x_2$ (ex: $[6, 7, 8, 8, 11]$).
(C) Incorreta: O número 8 pode ser $x_3$ ou $x_4$ (ex: $[6, 7, 8, 8, 11]$).
(D) Incorreta: O número 9 pode ser $x_4$ (ex: $[6, 6, 8, 9, 11]$).
(E) Correta: O número 10 não pode integrar a lista. Os valores possíveis para os elementos da lista são 6, 7, 8, 9 e 11. Se 10 fosse $x_2$, violaria $x_2 \le x_3=8$. Se 10 fosse $x_4$, então $x_2$ teria que ser $15-10=5$, o que violaria$x_1=6 \le x_2$.