Questão de Bioenergia · FGV EPE 2024 (nº 46)

O valor esperado de uma variável aleatória é a média ponderada de todos os seus possíveis resultados, onde cada resultado é ponderado pela sua probabilidade de ocorrência. Uma variável aleatória (v.a.) é uma função que associa um valor numérico a cada resultado de um experimento aleatório, e seu espaço amostral ($\Omega$) é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir.

Vamos calcular os possíveis resultados e suas probabilidades:
Seja $X_1$ a comissão da primeira reunião e $X_2$ a comissão da segunda.

• $P(X_1 = 1000) = 0.70$ (venda na 1ª)
• $P(X_1 = 0) = 0.30$ (não venda na 1ª)
• $P(X_2 = 1500) = 0.40$ (venda na 2ª)
• $P(X_2 = 0) = 0.60$ (não venda na 2ª)

Como as vendas são independentes, a comissão total $Y = X_1 + X_2$ pode ter os seguintes valores e probabilidades:

1. Y = 0 (Não vende na 1ª E Não vende na 2ª): P(Y=0) = P(X_1=0) \times P(X_2=0) = 0.30 \times 0.60 = 0.18\
2. Y = 1000 (Vende na 1ª E Não vende na 2ª): P(Y=1000) = P(X_1=1000) \times P(X_2=0) = 0.70 \times 0.60 = 0.42\
3. Y = 1500 (Não vende na 1ª E Vende na 2ª): P(Y=1500) = P(X_1=0) \times P(X_2=1500) = 0.30 \times 0.40 = 0.12\
4. Y = 2500 (Vende na 1ª E Vende na 2ª): $P(Y=2500) = P(X_1=1000) \times P(X_2=1500) = 0.70 \times 0.40 = 0.28$

A soma das probabilidades é $0.18 + 0.42 + 0.12 + 0.28 = 1.00$.

(V) Podemos definir Y como sendo a v.a. comissão. Ω = {0, 1000, 1500, 2500}.
Verdadeira. Y é a variável aleatória que representa a comissão total. O espaço amostral $\Omega$ lista todos os valores possíveis que Y pode assumir, que são 0, 1000, 1500 e 2500, conforme calculado.

(V) A distribuição de probabilidade de Y para 0, 1000, 1500, 2500 é, respectivamente 0,18; 0,42; 0,12; e 0,28.
Verdadeira. As probabilidades calculadas para cada valor de Y (0, 1000, 1500, 2500) são exatamente 0.18, 0.42, 0.12 e 0.28, respectivamente.

(F) O valor esperado é de R$ 1.050.
Falsa. O valor esperado $E(Y)$ é a soma de cada valor possível de Y multiplicado pela sua probabilidade:
$E(Y) = (0 \times 0.18) + (1000 \times 0.42) + (1500 \times 0.12) + (2500 \times 0.28)$
$E(Y) = 0 + 420 + 180 + 700$
$E(Y) = 1300$
Alternativamente, pela propriedade da linearidade da esperança, $E(Y) = E(X_1) + E(X_2)$:
$E(X_1) = (1000 \times 0.70) + (0 \times 0.30) = 700$
$E(X_2) = (1500 \times 0.40) + (0 \times 0.60) = 600$
$E(Y) = 700 + 600 = 1300$.
Portanto, o valor esperado é R$ 1.300, e não R$ 1.050.

Armadilha do distrator (R$ 1.050): Um erro comum seria misturar as probabilidades ou valores. Por exemplo, R$ 1.050 pode ser obtido se o aluno calculasse o valor esperado da primeira reunião (R$ 700) e, para a segunda reunião, usasse a probabilidade de sucesso da primeira reunião (0.70) com o valor da segunda reunião (R$ 1500), resultando em $1500 \times 0.70 = 1050$. Se o aluno então apenas considerasse este último valor como o total esperado, ou o somasse incorretamente, poderia chegar a um resultado errado. A forma correta é usar a probabilidade de cada evento com seu respectivo valor, ou usar a linearidade da esperança com os valores esperados individuais corretos.

As afirmativas são, respectivamente, V – V – F.

(A) Correta: V – V – F.
(B) Incorreta: A terceira afirmativa é falsa, não verdadeira.
(C) Incorreta: A primeira afirmativa é verdadeira, não falsa.
(D) Incorreta: A segunda afirmativa é verdadeira, não falsa.
(E) Incorreta: A primeira afirmativa é verdadeira, não falsa, e a terceira é falsa, não verdadeira.