Questão de Engenharia Mecânica · FGV DPE-RS 2023 (nº 56)

A tensão normal em uma viga sob flexão é a força interna por unidade de área que resiste ao encurvamento, sendo máxima nas fibras mais distantes do eixo neutro (a linha na viga onde não há tensão) e calculada pela fórmula $\sigma = \frac{M \cdot y}{I}$.

• Cálculo das reações de apoio:

  • Momento em A: $P_1 \cdot 3 - R_B \cdot 10 = 0 \implies 10 \text{ kN} \cdot 3 \text{ m} - R_B \cdot 10 \text{ m} = 0 \implies R_B = 3 \text{ kN}$.
  • Somatória das forças verticais: $R_A + R_B - P_1 = 0 \implies R_A + 3 \text{ kN} - 10 \text{ kN} = 0 \implies R_A = 7 \text{ kN}$.

• Cálculo do momento fletor máximo ($M_{max}$):

  • O momento fletor máximo ocorre sob a carga concentrada.
  • $M_{max} = R_A \cdot 3 \text{ m} = 7 \text{ kN} \cdot 3 \text{ m} = 21 \text{ kN} \cdot \text{m}$.

• Cálculo do momento de inércia ($I$) da seção transversal:

  • Para uma seção retangular, $I = \frac{b \cdot h^3}{12}$.
  • $b = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$
  • $h = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}$
  • $I = \frac{0.12 \text{ m} \cdot (0.10 \text{ m})^3}{12} = \frac{0.12 \cdot 0.001}{12} = 0.00001 \text{ m}^4 = 1 \times 10^{-5} \text{ m}^4$.

• Cálculo da distância da linha neutra à fibra mais externa ($c$):

  • Para uma seção retangular, a linha neutra está no centroide, então $c = h/2$.
  • $c = \frac{0.10 \text{ m}}{2} = 0.05 \text{ m}$.

• Cálculo da tensão normal máxima ($\sigma_{max}$):

  • $\sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot c}{I}$
  • $\sigma_{max} = \frac{21 \times 10^3 \text{ N} \cdot \text{m} \cdot 0.05 \text{ m}}{1 \times 10^{-5} \text{ m}^4} = \frac{1050 \text{ N} \cdot \text{m}^2}{1 \times 10^{-5} \text{ m}^4} = 105 \times 10^6 \text{ N/m}^2 = 105 \text{ MPa}$.

• (A) Incorreta: 50 MPa. Este valor pode ser obtido por um erro comum ao utilizar o momento de inércia incorreto ($I = bh^3/3$, que é para um eixo na base, em vez de $I = bh^3/12$ para o centroide) e o 'c' correspondente ($h$ em vez de $h/2$), resultando em $52.5 \text{ MPa}$, que é arredondado para $50 \text{ MPa}$. A armadilha é usar a fórmula errada para o momento de inércia e a distância ao eixo neutro.

• (B) Incorreta: 94 MPa. Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo para este tipo de problema.

• (C) Incorreta: 102 MPa. Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo para este tipo de problema.

• (D) Correta: 105 MPa. O cálculo correto do momento fletor máximo ($M_{max} = 21 \text{ kN} \cdot \text{m}$), do momento de inércia da seção retangular ($I = 1 \times 10^{-5} \text{ m}^4$) e da distância da linha neutra à fibra mais externa ($c = 0.05 \text{ m}$), aplicado na fórmula da tensão de flexão $\sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot c}{I}$, resulta em $105 \text{ MPa}$.

• (E) Incorreta: 245 MPa. Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo para este tipo de problema.