Questão de Raciocínio Lógico · FGV DNIT 2024 (nº 20)

O conceito-chave aqui é a tabela verdade da proposição condicional ("Se P, então Q"). Uma proposição condicional só é falsa em um único caso: quando a primeira parte (o antecedente, P) é verdadeira e a segunda parte (o consequente, Q) é falsa. Em todas as outras situações, a proposição condicional é considerada verdadeira.

Vamos definir as proposições simples:
$A$: "André é vascaíno"
$B$: "Beto é botafoguense"
$C$: "Cadu é flamenguista"

A sentença dada é: $(A \lor B) \rightarrow (C \land \neg B)$.
Sabemos que esta sentença é verdadeira.

Para descobrir qual alternativa é correta, vamos usar o método da redução ao absurdo (prova por contradição) para a proposição $B$.

1. Assumimos o contrário da alternativa E (ou seja, assumimos que $B$ é verdadeira):
   Se "Beto é botafoguense" ($B$) fosse verdadeira:

   • O antecedente da condicional seria $(A \lor B)$, que se tornaria $(A \lor \text{Verdadeiro})$. Uma disjunção com uma parte verdadeira é sempre Verdadeira.
   • O consequente da condicional seria $(C \land \neg B)$. Se $B$ é verdadeira, então $\neg B$ ("Beto não é botafoguense") é Falsa. Assim, o consequente se tornaria $(C \land \text{Falsa})$. Uma conjunção com uma parte falsa é sempre Falsa.
   • Nesse cenário, a proposição condicional $(A \lor B) \rightarrow (C \land \neg B)$ se tornaria $(\text{Verdadeiro} \rightarrow \text{Falso})$.
   • Uma condicional com antecedente verdadeiro e consequente falso é, por definição, Falsa.

2. Chegamos a uma contradição:
   Nossa conclusão de que a sentença é Falsa contradiz a informação dada no problema de que a sentença é Verdadeira.

3. A suposição inicial estava errada:
   Portanto, a suposição de que "Beto é botafoguense" ($B$) é verdadeira deve ser falsa. Isso significa que "Beto é botafoguense" ($B$) é falsa.

4. Conclusão:
   Se "Beto é botafoguense" ($B$) é falsa, então sua negação, "Beto não é botafoguense" ($\neg B$), é verdadeira.

(A) Incorreta: Não podemos concluir que André é vascaíno. Se $B$ é falsa, a sentença se simplifica para $A \rightarrow C$. Se $A \rightarrow C$ é verdadeira, $A$ pode ser verdadeira ou falsa (dependendo de $C$).
(B) Incorreta: Esta é a suposição que nos levou a uma contradição. Se Beto fosse botafoguense (verdadeiro), a sentença original seria falsa, o que contradiz o enunciado. Armadilha da banca: Esta alternativa é o oposto da correta e pode confundir o aluno que não aplicar a lógica da condicional corretamente.
(C) Incorreta: Não podemos concluir que Cadu é flamenguista. Se $B$ é falsa, a sentença se simplifica para $A \rightarrow C$. Se $A \rightarrow C$ é verdadeira, $C$ pode ser verdadeira ou falsa (dependendo de $A$).
(D) Incorreta: Não podemos concluir que André não é vascaíno. Se $B$ é falsa, a sentença se simplifica para $A \rightarrow C$. Se $A \rightarrow C$ é verdadeira, $\neg A$ pode ser verdadeira ou falsa.
(E) Correta: Conforme demonstrado pela prova por contradição, a única maneira de a sentença condicional ser verdadeira, dado o seu formato, é se "Beto é botafoguense" for falsa, o que torna "Beto não é botafoguense" verdadeira.