Questão de Raciocínio Lógico · FGV DNIT 2024 (nº 18)

Permutação é a forma de organizar elementos distintos em uma sequência, onde a ordem importa. O número de permutações de $n$ elementos distintos é $n!$ (lê-se "n fatorial"), que é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 a $n$.

• (A) Incorreta: 24 é o número total de maneiras de escrever as 4 letras (D, N, I, T) sem nenhuma restrição ($4! = 24$). É um distrator para quem ignora a condição do problema.
• (B) Incorreta: 18 resultaria de $24 - 6$, o que aconteceria se a pessoa calculasse apenas uma das ordens (DT ou TD) como "juntas" e não as duas.
• (C) Correta: Para resolver, usamos o princípio da contagem complementar: (Total de arranjos) - (Arranjos onde D e T estão juntas).
  1. Total de arranjos: As 4 letras (D, N, I, T) são distintas. O número total de permutações é $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
  2. Arranjos onde D e T estão juntas: Considere "DT" como um único bloco. Agora temos 3 "elementos" para permutar: (DT), N, I. Isso dá $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ arranjos. No entanto, as letras D e T dentro do bloco também podem trocar de lugar (DT ou TD). Então, o bloco pode ser "DT" ou "TD".
     • Se o bloco é (DT): (DT), N, I $\rightarrow 3! = 6$ arranjos.
     • Se o bloco é (TD): (TD), N, I $\rightarrow 3! = 6$ arranjos.
     • Total de arranjos onde D e T estão juntas = $6 + 6 = 12$.
  3. Arranjos onde D e T não estão juntas: $24 - 12 = 12$.
• (D) Incorreta: Não há um cálculo direto que leve a 9 neste contexto.
• (E) Incorreta: 6 é o número de arranjos se D e T fossem consideradas uma única letra fixa (por exemplo, "DT" como um só elemento) e não pudessem trocar de lugar entre si, ou se houvesse apenas 3 elementos para permutar.