Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 56)

As medidas de tendência central são valores que representam o "centro" ou o valor típico de um conjunto de dados. As principais são a média (soma de todos os valores dividida pelo número de valores), a mediana (o valor do meio quando os dados estão ordenados) e a moda (o valor que mais se repete).

Vamos analisar a amostra: 3, 3, 6, 3, x, 5, 11.
Temos 7 números inteiros positivos.

1. Calcular a Moda:
   Os números conhecidos são 3, 3, 3, 5, 6, 11.
   O número 3 aparece 3 vezes. Mesmo que $x$ seja 3, a moda continuará sendo 3 (apareceria 4 vezes). Se $x$ for qualquer outro número, 3 ainda é o que mais aparece.
   Portanto, a Moda = 3.

2. Calcular a Média:
   A soma dos números conhecidos é $3 + 3 + 6 + 3 + 5 + 11 = 31. A soma total da amostra é \31 + x$.
   A média é $(31 + x) / 7$.
   O problema informa que a média é um número inteiro. Para que $(31 + x)$ seja divisível por 7, $31 + x$ deve ser um múltiplo de 7.
   Os múltiplos de 7 são: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, ...
   Como $x$ é um inteiro positivo, $x \ge 1$.
   Se $31 + x = 35$, então$x = 4$. (Este é o menor valor de$x que torna a média um inteiro). Se \31 + x = 42$, então$x = 11. Se \31 + x = 49$, então$x = 18$.
   E assim por diante.

3. Calcular a Mediana e S:
   Queremos o menor valor possível de S, onde $S = \text{Moda} + \text{Mediana} + \text{Média}$.
   Como a Moda é fixa em 3, precisamos minimizar (Mediana + Média).
   Para minimizar a Média, devemos escolher o menor valor possível para $x$ que satisfaça a condição da média ser inteira. Esse valor é $x=4$.

   Considerando $x=4$:

   • Amostra: 3, 3, 6, 3, 4, 5, 11.
   • Ordenando a amostra: 3, 3, 3, 4, 5, 6, 11.
   • Mediana: Como há 7 números, a mediana é o 4º número na ordem crescente, que é 4.
   • Média: $(31 + 4) / 7 = 35 / 7 = 5$.
   • S = Moda + Mediana + Média = 3 + 4 + 5 = 12.

   Vamos verificar se outros valores de $x$ (que também resultam em média inteira) podem dar um $S$ menor:

   • Considerando $x=11$:

     • Amostra: 3, 3, 6, 3, 11, 5, 11.
     • Ordenando: 3, 3, 3, 5, 6, 11, 11.
     • Mediana: 5 (o 4º número).
     • Média: $(31 + 11) / 7 = 42 / 7 = 6$.
     • $S = 3 + 5 + 6 = 14$. (Maior que 12).

   • Considerando $x=18$:

     • Amostra: 3, 3, 6, 3, 18, 5, 11.
     • Ordenando: 3, 3, 3, 5, 6, 11, 18.
     • Mediana: 5 (o 4º número).
     • Média: $(31 + 18) / 7 = 49 / 7 = 7$.
     • $S = 3 + 5 + 7 = 15$. (Maior que 12).

   O menor valor de $S$ ocorre quando $x=4$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se, por exemplo, o aluno ignorasse a condição de que a média deve ser um número inteiro e escolhesse $x=3$. Nesse caso, a amostra ordenada seria 3, 3, 3, 3, 5, 6, 11. A moda seria 3, a mediana seria 3. A média seria $(31+3)/7 = 34/7 \approx 4.85$. Se o aluno arredondasse a média para 5, então $S = 3 + 3 + 5 = 11$. A armadilha aqui é desconsiderar a restrição de que a média é um número inteiro.
• (B) Correta: Conforme demonstrado, o menor valor de $x$ que torna a média um inteiro é $x=4$. Com $x=4$, a amostra ordenada é 3, 3, 3, 4, 5, 6, 11. A moda é 3, a mediana é 4 e a média é $(31+4)/7 = 5$. Assim, $S = 3 + 4 + 5 = 12$.
• (C) Incorreta: Não há um cenário válido que leve a $S=13$.
• (D) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o aluno escolhesse $x=11$. Nesse caso, a média seria $(31+11)/7 = 6$, a mediana seria 5 (após ordenar a amostra 3, 3, 3, 5, 6, 11, 11), e a moda seria 3. Então $S = 3 + 5 + 6 = 14$. Embora $x=11$ resulte em uma média inteira, não é o menor valor possível para $S$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o aluno escolhesse $x=18$. Nesse caso, a média seria $(31+18)/7 = 7$, a mediana seria 5 (após ordenar a amostra 3, 3, 3, 5, 6, 11, 18), e a moda seria 3. Então $S = 3 + 5 + 7 = 15$.