Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 54)

A união de dois conjuntos ($A \cup B$) é o conjunto de todos os elementos que pertencem a $A$, ou a $B$, ou a ambos. A interseção ($A \cap B$) é o conjunto dos elementos que pertencem a $A$ e a $B$ simultaneamente. Para encontrar a soma dos elementos da união, podemos usar a fórmula: Soma($A \cup B$) = Soma($A$) + Soma($B$) - Soma($A \cap B$).

Para resolver a questão, primeiro identificamos os elementos dos conjuntos e a interseção:

1. Conjuntos dados:
   $A = \{1, 3, 5, x, 8\}$
   B = \{2, 3, y, 7, 8\}\
2. Número de elementos: $|A| = 5$ e $|B| = 5$. Isso implica que $x$ deve ser diferente de $1, 3, 5, 8$(para que$A$tenha 5 elementos distintos) e$y deve ser diferente de \2, 3, 7, 8$(para que$B$ tenha 5 elementos distintos). Esta é uma informação crucial para evitar a "pegadinha".
3. Interseção: $|A \cap B| = 4$.
   Os elementos $3 e \8$são visivelmente comuns a$A$e$B$. Portanto,${3, 8} \subseteq A \cap B$.
   Como a interseção tem 4 elementos, precisamos de mais dois elementos comuns.
4. Encontrando os elementos $x$ e $y$:
   Os elementos restantes em $A$ (além de $3, 8$) são${1, 5, x}$. Os elementos restantes em$B (além de \3, 8$) são${2, y, 7}$. Para que haja mais dois elementos na interseção, dois elementos de${1, 5, x}$devem ser iguais a dois elementos de${2, y, 7}. Como \1, 5, 2, 7$são todos números distintos, a única forma de obter dois elementos comuns é se$x$for um dos elementos de${2, 7}$e$y$for um dos elementos de${1, 5}$. Por exemplo, podemos ter$x=2$e$y=1$. Nesse caso,$A = {1, 3, 5, 2, 8}$e$B = {2, 3, 1, 7, 8}$.
   Verificamos as condições:
   • $x=2$ é diferente de $1, 3, 5, 8$. (Correto,$|A|=5$)
   • $y=1$ é diferente de $2, 3, 7, 8$. (Correto,$|B|=5$)
   • $A \cap B = \{1, 2, 3, 8\}$, que tem 4 elementos. (Correto)
     Portanto, os dois elementos adicionais da interseção são $x$ e $y$. Assim, $A \cap B = \{3, 8, x, y\}$.
5. Cálculo das somas:
   Soma dos elementos de $A$: $1+3+5+x+8 = 17+x$.
   Soma dos elementos de $B$: $2+3+y+7+8 = 20+y$.
   Soma dos elementos de $A \cap B$: $3+8+x+y = 11+x+y$.
6. Soma dos elementos da união:
   Soma($A \cup B$) = Soma($A$) + Soma($B$) - Soma($A \cap B$)
   Soma($A \cup B$) = $(17+x) + (20+y) - (11+x+y)$
   Soma($A \cup B$) = $17+x+20+y-11-x-y$
   Soma($A \cup B$) = $17+20-11 = 37-11 = 26$.

(A) Correta: A soma dos elementos da união de $A$ e $B$ é 26, conforme demonstrado pelo cálculo usando a fórmula da soma da união e a dedução dos valores de $x$ e $y$.
(B) Incorreta: Esta alternativa seria obtida por um erro de cálculo, talvez se a soma da interseção fosse subtraída incorretamente.
(C) Incorreta: Esta alternativa seria obtida por um erro de cálculo, talvez se a soma da interseção fosse subtraída incorretamente.
(D) Incorreta: Esta alternativa é um distrator tentador. Poderia ser obtida se o aluno não percebesse que $x$ e $y$ são os elementos que completam a interseção, e os somasse como elementos adicionais à união dos elementos conhecidos (ex: $1+2+3+5+7+8 + x + y$, se $x=1, y=2$, resultaria em $26+1+2=29$). A armadilha é não considerar que os elementos de um conjunto devem ser distintos, o que forçaria$x$e$y$ a serem os elementos da interseção.
(E) Incorreta: Esta alternativa seria obtida por um erro de cálculo, talvez se a soma da interseção fosse subtraída incorretamente.