Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 47)

O conceito-chave aqui é a tradução de informações textuais em equações matemáticas para encontrar um número, e depois aplicar a divisão euclidiana para determinar o resto. Algarismos são os dígitos (0 a 9) que compõem um número, e suas posições (unidades, dezenas, centenas) são cruciais para formar o valor.

Vamos chamar o número de $N = abc$, onde $a$ é o algarismo das centenas, $b$ o das dezenas e $c$ o das unidades.

1. "Um número inteiro positivo ímpar maior que 200 e menor que 300":

   • Maior que 200 e menor que 300 significa que o algarismo das centenas ($a$) é 2. Então, o número é $2bc$.
   • Ímpar significa que o algarismo das unidades ($c$) deve ser 1, 3, 5, 7 ou 9.

2. "a soma dos seus algarismos é 14":

   • $a + b + c = 14$. Como $a=2$, temos $2 + b + c = 14 \Rightarrow b + c = 12$.

3. "a diferença entre o algarismo das unidades e o algarismo das centenas é igual ao algarismo das dezenas":

   • $c - a = b$. Como $a=2$, temos $c - 2 = b$.

Agora, temos um sistema de equações para $b$ e $c$:
(I) $b + c = 12$
(II) $c - 2 = b$

Substituindo (II) em (I):
$(c - 2) + c = 12$
$2c - 2 = 12 \2c = 14$$c = 7$

Agora, usamos $c=7$ na equação (II) para encontrar $b$:
$b = c - 2 = 7 - 2 = 5$

Portanto, os algarismos são $a=2$, $b=5$ e $c=7$. O número é $N = 257$.
Vamos verificar as condições:

• 257 é ímpar? Sim (termina em 7).
• 257 está entre 200 e 300? Sim.
• A soma dos algarismos é $2+5+7 = 14$? Sim.
• A diferença entre unidades (7) e centenas (2) é igual às dezenas (5)? $7-2=5$. Sim.
  Todas as condições são satisfeitas.

Finalmente, precisamos dividir 257 por 13 e encontrar o resto:
$257 \div 13$
Podemos fazer a divisão longa:
$257 = 13 \times 19 + 10$
$13 \times 10 = 130$
$13 \times 20 = 260$
Então, o quociente deve ser 19.
$13 \times 19 = 13 \times (20 - 1) = 260 - 13 = 247$.
$257 - 247 = 10$.
O resto da divisão é 10.

(A) Incorreta: O resto da divisão de 257 por 13 não é 2.
(B) Incorreta: O resto da divisão de 257 por 13 não é 5.
(C) Incorreta: O resto da divisão de 257 por 13 não é 7.
(D) Incorreta: O resto da divisão de 257 por 13 não é 8. Este seria um distrator tentador se houvesse um erro de cálculo na divisão, por exemplo, se $13 \times 19$ fosse erroneamente calculado como 249, resultando em $257-249=8$. **(E) Correta:** O número encontrado é 257. Ao dividir 257 por 13, obtemos um quociente de 19 e um resto de 10 ($257 = 13 \times 19 + 10$).